Esercizio su Covarianza
Salve a tutti, scrivo qui un problema di probabilità piuttosto particolare che mi è capitato ad un esame un paio di giorni fa.
In uno schema di Bernoulli simmetrico la covarianza tra l'indicatrice del successo alla prima prova (che indicherò con X) e la prova del primo successo (che indicherò con Y) è:
a) 1
b) -1/2
c) 1/2
d) -1
Volevo trovare la soluzione con la formula della Covarianza, calcolando la media di X e Y
Dal momento che X segue una distribuzione di Bernoulli: $ E(X) =P(X=1)=1/2 $
Mentre Y dovrebbe seguire una distribuzione geometrica: $ E(Y)= 1/(1/2) = 2 $
Tuttavia la formula della Covarianza prevede che io conosca $ E(XY) $, che però non so come calcolare.
C'è un modo per calcolarla, oppure ho sbagliato proprio l'approccio al problema?
In uno schema di Bernoulli simmetrico la covarianza tra l'indicatrice del successo alla prima prova (che indicherò con X) e la prova del primo successo (che indicherò con Y) è:
a) 1
b) -1/2
c) 1/2
d) -1
Volevo trovare la soluzione con la formula della Covarianza, calcolando la media di X e Y
Dal momento che X segue una distribuzione di Bernoulli: $ E(X) =P(X=1)=1/2 $
Mentre Y dovrebbe seguire una distribuzione geometrica: $ E(Y)= 1/(1/2) = 2 $
Tuttavia la formula della Covarianza prevede che io conosca $ E(XY) $, che però non so come calcolare.
C'è un modo per calcolarla, oppure ho sbagliato proprio l'approccio al problema?
Risposte
"Parlu10":
Tuttavia la formula della Covarianza prevede che io conosca E(XY), che però non so come calcolare.
C'è un modo per calcolarla
Quali valori può assumere $XY$? Con quali probabilità?
I dati che avevo li ho già scritti tutti, non ho idea se esiste un modo per farlo con quelli.
"Parlu10":
I dati che avevo li ho già scritti tutti, non ho idea se esiste un modo per farlo con quelli.
Ripeto la mia domanda.
Provo a ragionarci su.
X può assumere i valori 0 e 1 con la stessa probabilità: $ 1/2 $
Invece Y può assumere come valori da 1 a $ oo $ , in cui la probabilità che Y sia uguale a 1 è $ 1/2 $, uguale a 2 con probabilità $ 1/4 $ e in generale uguale a n con probabilità $ 1/2^n $
Immagino che, se X = 1, allora anche Y sarà =1, visto che se la prima prova è un successo allora essa è anche la prova del primo successo.
Dunque XY può assumere valore 1 con probabilità $ 1/2 $, credo.
Mentre, se X sarà uguale 0, e dunque la prima prova è un fallimento, allora Y potrà assumere tutti i valori da 2 a $ oo $, immagino sempre con probabilità $ 1/2 $.
Dunque XY può assumere valore 0 sempre con probabilità $ 1/2 $.
E' giusto il ragionamento?
X può assumere i valori 0 e 1 con la stessa probabilità: $ 1/2 $
Invece Y può assumere come valori da 1 a $ oo $ , in cui la probabilità che Y sia uguale a 1 è $ 1/2 $, uguale a 2 con probabilità $ 1/4 $ e in generale uguale a n con probabilità $ 1/2^n $
Immagino che, se X = 1, allora anche Y sarà =1, visto che se la prima prova è un successo allora essa è anche la prova del primo successo.
Dunque XY può assumere valore 1 con probabilità $ 1/2 $, credo.
Mentre, se X sarà uguale 0, e dunque la prima prova è un fallimento, allora Y potrà assumere tutti i valori da 2 a $ oo $, immagino sempre con probabilità $ 1/2 $.
Dunque XY può assumere valore 0 sempre con probabilità $ 1/2 $.
E' giusto il ragionamento?
"Parlu10":
E' giusto il ragionamento?
Sì.
Quindi alla fine:
$ Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)= $ $ 1/2 - 1/2*2 = -1/2 $
Grazie mille per l'aiuto!
$ Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)= $ $ 1/2 - 1/2*2 = -1/2 $
Grazie mille per l'aiuto!
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