Esercizio su calcolo medie e covarianza da densità congiunta
Data $ f_(XY)(x,y)=1/y*e^(-y-x/y) $ definita per $ x,y>0 $ calcolare le densità marginali, $ E(X), E(Y),Cov (X,Y),E(X^3|Y) $
La mia soluzione: inizio col calcolare $ f_X(x)=\int_0^infty f_(XY)(x,y)\ \text{d} y $ ma mi accorgo che non è risolubile (almeno con i metodi algebrici che conosco), allora procedo per condizionamento:
$ f_(X|Y=y)=f_(XY)(xy)/(f_(Y=y))=1/ye^(-x/y $ (*)
-Calcolo di E(X) E(Y), seguo questo ragionamento:
dal momento che $ X|Y $ è distribuita come una esponenziale di parametro 1/y, scrivo
$ E(X|Y=y)=E(exp(1/y))=y $ Pertanto $ E(X|Y=y) $ ) definisce una funzione di y, allora applicandola alla variabile aleatoria, ottengo $ E(X|Y)=Y $ ,calcolando la media di questa quantità si ottiene: $ E(E(X|Y))=E(Y) $ , ma dal momento che il primo membro è $ E(X) $ , ottengo $ E(X)=E(Y) $ , Devo solo calcolare $ E(Y) $ ma conosco $ f_Y=e^(-y) $ la cui media è $ E(Y)=1 $
-Calcolo di $ Cov(X,Y) $ , utilizzo la relazione: $ Cov(X,Y)=int_{0}^{infty} int_{0}^{infty} f_(XY(x,y) dx dy )-E(X)E(Y)=1-1=0 $
-Calcolo di $ E(X^3|Y) $ , qui ho le maggiori perplessità: infatti mi chiede il valore condizionato ma non ad un determinato valore di y, la mia idea sarebbe quella di calcolare: $ int_{0}^{infty} x^3f_(X|Y(x,y) dx ) $, il cui calcolo si fa per parti senza grosse difficoltà; è corretto o è una stupidaggine ? Grazie in anticipo a chi risponderà
La mia soluzione: inizio col calcolare $ f_X(x)=\int_0^infty f_(XY)(x,y)\ \text{d} y $ ma mi accorgo che non è risolubile (almeno con i metodi algebrici che conosco), allora procedo per condizionamento:
$ f_(X|Y=y)=f_(XY)(xy)/(f_(Y=y))=1/ye^(-x/y $ (*)
-Calcolo di E(X) E(Y), seguo questo ragionamento:
dal momento che $ X|Y $ è distribuita come una esponenziale di parametro 1/y, scrivo
$ E(X|Y=y)=E(exp(1/y))=y $ Pertanto $ E(X|Y=y) $ ) definisce una funzione di y, allora applicandola alla variabile aleatoria, ottengo $ E(X|Y)=Y $ ,calcolando la media di questa quantità si ottiene: $ E(E(X|Y))=E(Y) $ , ma dal momento che il primo membro è $ E(X) $ , ottengo $ E(X)=E(Y) $ , Devo solo calcolare $ E(Y) $ ma conosco $ f_Y=e^(-y) $ la cui media è $ E(Y)=1 $
-Calcolo di $ Cov(X,Y) $ , utilizzo la relazione: $ Cov(X,Y)=int_{0}^{infty} int_{0}^{infty} f_(XY(x,y) dx dy )-E(X)E(Y)=1-1=0 $
-Calcolo di $ E(X^3|Y) $ , qui ho le maggiori perplessità: infatti mi chiede il valore condizionato ma non ad un determinato valore di y, la mia idea sarebbe quella di calcolare: $ int_{0}^{infty} x^3f_(X|Y(x,y) dx ) $, il cui calcolo si fa per parti senza grosse difficoltà; è corretto o è una stupidaggine ? Grazie in anticipo a chi risponderà
Risposte
[ot]hai visto che non è stato così difficile scrivere le formule in modo leggibile?[/ot]
Hai fatto quasi tutto per bene.
Ottimo il calcolo di $mathbb{E}[X]$ sfruttando le proprietà del valore atteso condizionale, BRAVO!!
La $f_X(x)$ penso non si possa esprimere in termini di funzioni elementari, io la lascerei scritta con l'integrale come hai fatto.
Il calcolo della covarianza è sbagliato: la relazione è $COV[X,Y]=mathbb{E}[XY]-mathbb{E}[X]mathbb{E}[Y]$
per l'integrale doppio basta scegliere con cura l'ordine di integrazione e diventa tutto talmente semplice che si può fare a mente...
$int_(0)^(+oo)int_(0)^(+oo)xy e^(-y)1/y e^(-x/y)dxdy=int_(0)^(+oo)e^(-y)dyint_(0)^(+oo)xe^(-x/y)dx=$
$=int_(0)^(+oo)y^2e^(-y)dyint_(0)^(+oo)x/y e^(-x/y)d(x/y)=int_(0)^(+oo)y^2e^(-y)Gamma(2)dy=int_(0)^(+oo)y^2e^(-y)dy=$
$=Gamma(3)=2! =2$
Quindi la covarianza viene $2-1=1$
Invece per il calcolo dei momenti condizionati hai avuto la giusta intuizione[nota]che andrebbe però corroborata con qualche cosa di più solido, che so, un teorema?...[/nota] ma...
....e se avessi $mathbb{E}[X^100|Y]$ che fai, 100 volte per parti????
Guarda come è semplice:
$mathbb{E}[X^n|Y]=int_0^(+oo)x^n 1/ye^(-x/y)dx=y^nint_0^(+oo)(x/y)^n e^(-x/y)d(x/y)=y^nGamma(n+1)=y^n*n!$, $AA n in NN^+$
PS: ma quanto è comoda la Gamma di Eulero?
Hai fatto quasi tutto per bene.
Ottimo il calcolo di $mathbb{E}[X]$ sfruttando le proprietà del valore atteso condizionale, BRAVO!!
La $f_X(x)$ penso non si possa esprimere in termini di funzioni elementari, io la lascerei scritta con l'integrale come hai fatto.
Il calcolo della covarianza è sbagliato: la relazione è $COV[X,Y]=mathbb{E}[XY]-mathbb{E}[X]mathbb{E}[Y]$
per l'integrale doppio basta scegliere con cura l'ordine di integrazione e diventa tutto talmente semplice che si può fare a mente...
$int_(0)^(+oo)int_(0)^(+oo)xy e^(-y)1/y e^(-x/y)dxdy=int_(0)^(+oo)e^(-y)dyint_(0)^(+oo)xe^(-x/y)dx=$
$=int_(0)^(+oo)y^2e^(-y)dyint_(0)^(+oo)x/y e^(-x/y)d(x/y)=int_(0)^(+oo)y^2e^(-y)Gamma(2)dy=int_(0)^(+oo)y^2e^(-y)dy=$
$=Gamma(3)=2! =2$
Quindi la covarianza viene $2-1=1$
Invece per il calcolo dei momenti condizionati hai avuto la giusta intuizione[nota]che andrebbe però corroborata con qualche cosa di più solido, che so, un teorema?...[/nota] ma...
"Gianant":
... il cui calcolo si fa per parti senza grosse difficoltà...
....e se avessi $mathbb{E}[X^100|Y]$ che fai, 100 volte per parti????
Guarda come è semplice:
$mathbb{E}[X^n|Y]=int_0^(+oo)x^n 1/ye^(-x/y)dx=y^nint_0^(+oo)(x/y)^n e^(-x/y)d(x/y)=y^nGamma(n+1)=y^n*n!$, $AA n in NN^+$
PS: ma quanto è comoda la Gamma di Eulero?
Grazie mille per le spiegazioni. Nel calcolo della covarianza avevo scritto una immane fesseria dimenticando di moltiplicare per xy la congiunta 
Bellissimo il calcolo di $ E(X^n|Y) $
Bellissimo il calcolo di $ E(X^n|Y) $
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