Esercizio su calcolo combinatorio
Salve ragazzi 
questo esercizio mi sta facendo uscire pazzo.
La problematica è la seguente:
In un armadio ci sono 5 paia di scarpe messe alla rinfusa. Ne estraiamo 5 coppie. Qual è la probabilità che nessuna coppia formi un paio?
Allora io avrei pensato di calcolare la probabilità dell evento complementare, ovvero qual è la probabilità che tutte le coppie formino un paio, allora procedo con gli eventi a cascata: alla prima pescata ho 5 paia come casi favorevoli e come casi possibili tutti i sottoinsiemi di 2 tra dieci e poi procedo in questo modo con gli altri
$P(A^c)=5/((10!)/(2!*8!))*4/((8!)/(2!*6!))*3/((6!)/(2!*4!))*2/((4!)/(2!*2!))*1=5/45*7/28*3/15*2/6=0.002$
Da cui,
$P(A)=1-0.002=0.998$
Ora, queste probabilità mi sembrano poco verosimili, dove sbaglio?
questo esercizio mi sta facendo uscire pazzo.La problematica è la seguente:
In un armadio ci sono 5 paia di scarpe messe alla rinfusa. Ne estraiamo 5 coppie. Qual è la probabilità che nessuna coppia formi un paio?
Allora io avrei pensato di calcolare la probabilità dell evento complementare, ovvero qual è la probabilità che tutte le coppie formino un paio, allora procedo con gli eventi a cascata: alla prima pescata ho 5 paia come casi favorevoli e come casi possibili tutti i sottoinsiemi di 2 tra dieci e poi procedo in questo modo con gli altri
$P(A^c)=5/((10!)/(2!*8!))*4/((8!)/(2!*6!))*3/((6!)/(2!*4!))*2/((4!)/(2!*2!))*1=5/45*7/28*3/15*2/6=0.002$
Da cui,
$P(A)=1-0.002=0.998$
Ora, queste probabilità mi sembrano poco verosimili, dove sbaglio?
Risposte
Non capisco perchè complichi tanto il calcolo, oltre che a sbagliarlo...
La probabilità di pescare tutte coppie è semplicemente: $1/9*1/7*1/5*1/3*1=1/945=0,001$
Però facendo 1 meno tutte, trovi NON TUTTE. Ovvero: nessuna+una+due+tre.
Potrebbe trattarsi di dismutazioni, ovvero di $!n$, ma l'ora tarda non mi consente di ragionare molto lucidamente.
Ci penserò prossimamente.
La probabilità di pescare tutte coppie è semplicemente: $1/9*1/7*1/5*1/3*1=1/945=0,001$
Però facendo 1 meno tutte, trovi NON TUTTE. Ovvero: nessuna+una+due+tre.
Potrebbe trattarsi di dismutazioni, ovvero di $!n$, ma l'ora tarda non mi consente di ragionare molto lucidamente.
Ci penserò prossimamente.
Ho provato a ricavare la risposta tramite i calcoli, ma non essendomi riuscito subito ho lasciato perdere. Però ho stimato quella probabilità con un programmino stupido che sfrutta il metodo monte carlo (se hai familiarità con R magari lo puoi lanciare tu stesso).
E la probabilità che ottengo è circa 0.57936
Spero che qualcun altro ti possa aiutare a capire da dove salta fuori quel numero tramite un po' di combinatorica.
total <- 0
num <- 100000
for(i in 1:num){
x <- rep(1:5,times=2)
y <- sample(x)
if(y[1]==y[2] || y[3]==y[4] ||y[5]==y[6] ||y[7]==y[8] ||y[9]==y[10]){
total <- total + 1
}
}
print(1-total/num)
E la probabilità che ottengo è circa 0.57936
Spero che qualcun altro ti possa aiutare a capire da dove salta fuori quel numero tramite un po' di combinatorica.
Il numero dei modi di disporre gli elementi di $n$ coppie distinte, assumendo che l'ordine degli elementi è significativo e le coppie sono distinguibili è:
$ 1, 6, 90, 2520, 113400, 7484400. ...$
Questi sono i casi totali, e la formula è:
$((2n)!)/2^n$
quindi, estraendo 5 paia di scarpe si hanno $(10!)/2^5 = 113400$ possibilità
Il numero dei casi relativi a tutte coppie è $n!$
$ 1, 2, 6, 24, 120, 720, ...$
Quindi, come dice superpippone con altro procedimento, la probabilità di pescare tutte le 5 coppie è:
$n!*2^n/((2n)!) = 120*2^5/(10!)= 0,0010582...$
Ma diverso (più complicato) è calcolare la probabilità che nessuna delle 5 coppie formi un paio.
Cronovirus con una simulazione ha ottenuto una probabilità pari a circa $0,579$, quindi i casi favorevoli sarebbero circa $65700$
Io mi sono limitato a contare i casi con almeno un paio di scarpe quando si hanno 2 , 4 e 6 coppie, che sono:
$ 1, 2, 42, ?, $
e di conseguenza $ 0, 4, 48, ?, $ sono i casi in cui nessuna delle coppie formano un paio.
Forse, cercando tra le sequenze dei numeri interi:
http://oeis.org/search?q=0%2C4%2C48%2C& ... &go=Search
si riesce a trovare la sequenza corretta.
$ 1, 6, 90, 2520, 113400, 7484400. ...$
Questi sono i casi totali, e la formula è:
$((2n)!)/2^n$
quindi, estraendo 5 paia di scarpe si hanno $(10!)/2^5 = 113400$ possibilità
Il numero dei casi relativi a tutte coppie è $n!$
$ 1, 2, 6, 24, 120, 720, ...$
Quindi, come dice superpippone con altro procedimento, la probabilità di pescare tutte le 5 coppie è:
$n!*2^n/((2n)!) = 120*2^5/(10!)= 0,0010582...$
Ma diverso (più complicato) è calcolare la probabilità che nessuna delle 5 coppie formi un paio.
Cronovirus con una simulazione ha ottenuto una probabilità pari a circa $0,579$, quindi i casi favorevoli sarebbero circa $65700$
Io mi sono limitato a contare i casi con almeno un paio di scarpe quando si hanno 2 , 4 e 6 coppie, che sono:
$ 1, 2, 42, ?, $
e di conseguenza $ 0, 4, 48, ?, $ sono i casi in cui nessuna delle coppie formano un paio.
Forse, cercando tra le sequenze dei numeri interi:
http://oeis.org/search?q=0%2C4%2C48%2C& ... &go=Search
si riesce a trovare la sequenza corretta.
Ragionandoci sopra, devo convenire che non si tratta di dismutazioni
Ho toppato, e me ne rammarico.....
Ho toppato, e me ne rammarico.....
Vi ringrazio per il tempo che state dedicando a questa problematica, io avevo pensato di indicare le scarpe con coppie di numeri del tipo $(1,1)$ etc così mi costruisco una matrice triangolare inferiore dove gli elementi sulla diagonale sono tutti i paia diciamo, poi per ora ho individuato due casi:
il caso in cui escano paia diversi cioè coppie del tipo $(1,2), (3,4), (4,5)$ questi mi escludono prima i paia, cioè gli elementi sulla diagonale ottenendo una probabilità di $4/9$.
E come secondo caso quando escono i paia però divisi ovvero $(1,2), (1,3),......$ con probabilità di $9/80$
Per poi arrivare ad una probabilità totale di $0.557$........
il caso in cui escano paia diversi cioè coppie del tipo $(1,2), (3,4), (4,5)$ questi mi escludono prima i paia, cioè gli elementi sulla diagonale ottenendo una probabilità di $4/9$.
E come secondo caso quando escono i paia però divisi ovvero $(1,2), (1,3),......$ con probabilità di $9/80$
Per poi arrivare ad una probabilità totale di $0.557$........
Quelle percentuali (maggiori del $50%$) non mi tornano e spiego perché ...
La prima scarpa possiamo sceglierla in $10$ modi e la seconda in $8$ (non in nove perché altrimenti avremmo la coppia giusta) per un totale di $80$; la terza scarpa possiamo sceglierla in $8$ modi e la quarta in $6$ che fa $48$, e poi $24, 8, 2$; moltiplicando il tutto otteniamo $1474560$ che diviso per il numero totale ($10!$) delle permutazioni di dieci scarpe ci porta a $40,6%$.
Ma questo ragionamento non esclude che l'ultima coppia di scarpe faccia il paio giusto perciò la percentuale corretta è ancora minore ...
Cordialmente, Alex
La prima scarpa possiamo sceglierla in $10$ modi e la seconda in $8$ (non in nove perché altrimenti avremmo la coppia giusta) per un totale di $80$; la terza scarpa possiamo sceglierla in $8$ modi e la quarta in $6$ che fa $48$, e poi $24, 8, 2$; moltiplicando il tutto otteniamo $1474560$ che diviso per il numero totale ($10!$) delle permutazioni di dieci scarpe ci porta a $40,6%$.
Ma questo ragionamento non esclude che l'ultima coppia di scarpe faccia il paio giusto perciò la percentuale corretta è ancora minore ...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Quelle percentuali (maggiori del $50%$) non mi tornano e spiego perché ...
La prima scarpa possiamo sceglierla in $10$ modi e la seconda in $8$ (non in nove perché altrimenti avremmo la coppia giusta) per un totale di $80$; la terza scarpa possiamo sceglierla in $8$ modi e la quarta in $6$ che fa $48$, e poi $24, 8, 2$; moltiplicando il tutto otteniamo $1474560$ che diviso per il numero totale ($10!$) delle permutazioni di dieci scarpe ci porta a $40,6%$.
Ma questo ragionamento non esclude che l'ultima coppia di scarpe faccia il paio giusto perciò la percentuale corretta è ancora minore ...
Cordialmente, Alex
Che la risposta esatta sia 0.57 non ci piove, la simulazione che ho fatto è al limite della banalità e chiunque può verificarne la correttezza..
Sul tuo ragionamento non sono pienamente convinto, infatti non si può trattare di estrazioni indipendenti: ammettiamo di aver estratto per prima la coppia di scarpe (1,2), allora nella pescata successiva se pesco per prima l'altra numero 1 o l'altra numero 2 avrò 7 modi di prendere la quarta scarpa dato che l'ho già estratta nella prima pescata.
Ho provato a fare un po' di conteggi.
Ho notato che con l'aumentare delle paia di scarpe, la probabilità cercata scende.
A me risulta così:
1 paio $0$
2 paia $2/3$
3 paia $8/15$
4 paia $52/105$
5 paia, mi è molto ostico...
Ho notato che con l'aumentare delle paia di scarpe, la probabilità cercata scende.
A me risulta così:
1 paio $0$
2 paia $2/3$
3 paia $8/15$
4 paia $52/105$
5 paia, mi è molto ostico...
Tramite le mie simulazioni (ripeto.. sono stime) trovo che se $ X $ è il numero di paia estratte allora
$$p(X=0)=0.57 $$
$$p(X=1)=0.31 $$
$$p(X=2)=0.08 $$
$$p(X=3)=0.02 $$
$$p(X=4)=0 $$
$$p(X=5)=0.001 $$
Notate che $p(X=4)=0 $ infatti è impossibile formare esattamente 4 paia, perchè con quali scarpe sarebbe formata la quinta coppia?
Un approccio per trovare $P(X=0)$ sarebbe quello di calcolare $P(X=0) = 1-P(X>=1) = 1- (P(X=1) + ... + P(X=5))$
Per quanto riguarda $P(X=5)$ lo trovo tramite $1\cdot 1/9 \cdot 1/7 \cdot 1/5 \cdot 1/3$ ragionando che la prima pallina la posso estrarre in qualsiasi modo, ma la seconda deve essere esattamente quella uguale, e così via per le altre. Ma sulle altre probabilità per me bisogna ragionare con le condizionate
$$p(X=0)=0.57 $$
$$p(X=1)=0.31 $$
$$p(X=2)=0.08 $$
$$p(X=3)=0.02 $$
$$p(X=4)=0 $$
$$p(X=5)=0.001 $$
Notate che $p(X=4)=0 $ infatti è impossibile formare esattamente 4 paia, perchè con quali scarpe sarebbe formata la quinta coppia?
Un approccio per trovare $P(X=0)$ sarebbe quello di calcolare $P(X=0) = 1-P(X>=1) = 1- (P(X=1) + ... + P(X=5))$
Per quanto riguarda $P(X=5)$ lo trovo tramite $1\cdot 1/9 \cdot 1/7 \cdot 1/5 \cdot 1/3$ ragionando che la prima pallina la posso estrarre in qualsiasi modo, ma la seconda deve essere esattamente quella uguale, e così via per le altre. Ma sulle altre probabilità per me bisogna ragionare con le condizionate
"Cronovirus":
Che la risposta esatta sia 0.57 non ci piove, ...
Ma tu le hai contate per dir così? Io sì ...
... e per essere precisi sono $2.088.960$ ovvero il $57,57%$ ... 
"Cronovirus":
... infatti non si può trattare di estrazioni indipendenti: ammettiamo di aver estratto per prima la coppia di scarpe (1,2), allora nella pescata successiva se pesco per prima l'altra numero 1 o l'altra numero 2 avrò 7 modi di prendere la quarta scarpa dato che l'ho già estratta nella prima pescata ...
Ma è quello che dico anch'io (ultima mia frase precedente) solo che io ne deduco che i casi "senza paia giuste" sono ancor meno ... dov'è l'errore?
Cordialmente, Alex
"axpgn":
[quote="Cronovirus"]Che la risposta esatta sia 0.57 non ci piove, ...
Ma tu le hai contate per dir così? Io sì ...
... e per essere precisi sono $2.088.960$ ovvero il $57,57%$ ... "Cronovirus":
... infatti non si può trattare di estrazioni indipendenti: ammettiamo di aver estratto per prima la coppia di scarpe (1,2), allora nella pescata successiva se pesco per prima l'altra numero 1 o l'altra numero 2 avrò 7 modi di prendere la quarta scarpa dato che l'ho già estratta nella prima pescata ...
Ma è quello che dico anch'io (ultima mia frase precedente) solo che io ne deduco che i casi "senza paia giuste" sono ancor meno ... dov'è l'errore?
Cordialmente, Alex[/quote]
Non capisco: se le hai contate allora l'esercizio è risolto. Puoi dirci come le hai contate?
"Cronovirus":
Non capisco: se le hai contate allora l'esercizio è risolto. ...
Beh, non proprio ... io mi sono limitato a scrivere un programmino che in tre minuti ha contato le combinazioni, ma qui l'aspetto interessante è trovare una via analitica relativamente facile ... ho provato in diversi modi che sembravano promettenti ma poi quando passi le tre paia le cose si complicano ...
Cordialmente, Alex
Per $n$ paia di scarpe (0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - ...), cioè 0 - 2 - 4 - 6 - 8 - 10 - 12 - ... scarpe da estrarre a caso a due a due, si ha:
Casi totali = $(2n)!$
$ 1 - 2 - 24 - 720 - 40.320 - 3.628.800 - 479.001.600 - ... $
Casi in cui si estrae almeno un paio di scarpe (e relativa probabilità):
$ 0 - 2 - 8 - 336 - 17.280 - 1.539.840 - 200.678.400 - ... $
$ 0 - 1 - 0,3333.. - 0,4666.. - 0,4285.. - 0,4243.. - 0,4190.. $
Casi in cui nessuna delle coppie estratte formano un paio di scarpe (e relativa probabilità):
$ 1 - 0 - 16 - 384 - 23.040 - 2.088.960 - 278.323.200 - ... $
$ 1 - 0 - 0,6666.. - 0,5333.. - 0,5714.. - 0,5756.. - 0,5810.. $
Per calcolare la sequenza precedente:
$a(0) = 1$
$a(1) = 0$
$a(n) = 4*n*(n-1)*(a(n-1)+2*(n-1)*a(n-2))$
Casi totali = $(2n)!$
$ 1 - 2 - 24 - 720 - 40.320 - 3.628.800 - 479.001.600 - ... $
Casi in cui si estrae almeno un paio di scarpe (e relativa probabilità):
$ 0 - 2 - 8 - 336 - 17.280 - 1.539.840 - 200.678.400 - ... $
$ 0 - 1 - 0,3333.. - 0,4666.. - 0,4285.. - 0,4243.. - 0,4190.. $
Casi in cui nessuna delle coppie estratte formano un paio di scarpe (e relativa probabilità):
$ 1 - 0 - 16 - 384 - 23.040 - 2.088.960 - 278.323.200 - ... $
$ 1 - 0 - 0,6666.. - 0,5333.. - 0,5714.. - 0,5756.. - 0,5810.. $
Per calcolare la sequenza precedente:
$a(0) = 1$
$a(1) = 0$
$a(n) = 4*n*(n-1)*(a(n-1)+2*(n-1)*a(n-2))$
"nino_":
... $a(n) = 4*n*(n-1)*(a(n-1)+2*(n-1)*a(n-2))$
Ecco, proprio questa cercavo ... ma già con $n=3$ mi sono perso ...
Sono giunto alle seguenti conclusioni definitive, che finalmente collimano con le vostre.
Con 4 paia di scarpe, trovo le seguenti paia uguali:
4 - $4! = 24$
3 - $3!*4*4*0=0$
2 - $2!*6*6*4=288$
1 - $1!*4*4*48=768$
0 - complemento a $(8!)/(2^4)= 2.520$ ovvero $1.440$
Con 5 paia di scarpe
5 - $5! = 120$
4 - $4!*5*5*0=0$
3 - $3!*10*10*4=2.400$
2 - $2!*10*10*48=9.600$
1 - $1!*5*5*1.440=36.000$
0 - complemento a $(10!)/(2^5)=113.400$ ovvero $65.280$
Con 6 paia di scarpe:
6 - $6! = 720$
5 - $5!*6*6*0=0$
4 - $4!*15*15*4=21.600$
3 - $3!*20*20*48=115.200$
2 - $2!*15*15*1.440=648.000$
1 - $1!*6*6*65.280=2.350.080$
0 - complemento a $(12!)/(2^6)=7.484.400$ ovvero $4.348.800$
Con 4 paia di scarpe, trovo le seguenti paia uguali:
4 - $4! = 24$
3 - $3!*4*4*0=0$
2 - $2!*6*6*4=288$
1 - $1!*4*4*48=768$
0 - complemento a $(8!)/(2^4)= 2.520$ ovvero $1.440$
Con 5 paia di scarpe
5 - $5! = 120$
4 - $4!*5*5*0=0$
3 - $3!*10*10*4=2.400$
2 - $2!*10*10*48=9.600$
1 - $1!*5*5*1.440=36.000$
0 - complemento a $(10!)/(2^5)=113.400$ ovvero $65.280$
Con 6 paia di scarpe:
6 - $6! = 720$
5 - $5!*6*6*0=0$
4 - $4!*15*15*4=21.600$
3 - $3!*20*20*48=115.200$
2 - $2!*15*15*1.440=648.000$
1 - $1!*6*6*65.280=2.350.080$
0 - complemento a $(12!)/(2^6)=7.484.400$ ovvero $4.348.800$
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