Esercizio su Attesa condizionata
Salve a tutti.
Sto preparando l'esame di probabilità e ho problemi a risolvere questo esercizio:
Sia X una variabile aleatoria con distribuzione geometrica di parametro p. Condizionatamente a {X = k}, la variabile aleatoria Y ha distribuzione uniforme su [0, . . . , k]. Quanto vale E(Y)?
Io so che $ P(X=k)= p(1-p)^(k-1) $ che è la mia distribuzione geometrica
Inoltre so che $ E(X|A) = ∑ x * P(X=k| A) $ per un evento A
Quindi mi scrivo $ E(Y|X =k) = ∑ y * P(Y|X=k) $ che suppongo mi diventi $ ∑ y * p(1-p)^(k-1) $
Mi sono scritto la sommatoria di y= 0 fino a k che sono i valori che può assumere Y e porto fuori a chi "non interessa" che la y cambi cioè:
$ p(1-p)^(k-1) * ∑ y = p(1-p)^(k-1) * k(k+1)/2 $
Dopo tutto questo ragionamento vado a leggere la soluzione del libro che è un banale $ 1/(2p) $
Ho provato a leggere la risoluzione, ma essa omette tutti i passaggi di mezzo che per me sono fondamentali per capire l'esercizio.. qualcuno saprebbe aiutarmi? Ho solo 2 esercizi di questo tipo e non riesco a trovare sul libro (ho lo Sheldon M-Ross della Apogeo) un aiuto che mi conduca alla soluzione.
Sto preparando l'esame di probabilità e ho problemi a risolvere questo esercizio:
Sia X una variabile aleatoria con distribuzione geometrica di parametro p. Condizionatamente a {X = k}, la variabile aleatoria Y ha distribuzione uniforme su [0, . . . , k]. Quanto vale E(Y)?
Io so che $ P(X=k)= p(1-p)^(k-1) $ che è la mia distribuzione geometrica
Inoltre so che $ E(X|A) = ∑ x * P(X=k| A) $ per un evento A
Quindi mi scrivo $ E(Y|X =k) = ∑ y * P(Y|X=k) $ che suppongo mi diventi $ ∑ y * p(1-p)^(k-1) $
Mi sono scritto la sommatoria di y= 0 fino a k che sono i valori che può assumere Y e porto fuori a chi "non interessa" che la y cambi cioè:
$ p(1-p)^(k-1) * ∑ y = p(1-p)^(k-1) * k(k+1)/2 $
Dopo tutto questo ragionamento vado a leggere la soluzione del libro che è un banale $ 1/(2p) $
Ho provato a leggere la risoluzione, ma essa omette tutti i passaggi di mezzo che per me sono fondamentali per capire l'esercizio.. qualcuno saprebbe aiutarmi? Ho solo 2 esercizi di questo tipo e non riesco a trovare sul libro (ho lo Sheldon M-Ross della Apogeo) un aiuto che mi conduca alla soluzione.
Risposte
Gli esercizi sull'attesa condizionata mi attizzano sempre......provvedo immantinente!!
Dai dati sappiamo che
$(Y|X=x)~ U(0,1,...,x)$ di media $x/2$
$X~Ge(p)$ di media $1/p$
quindi $E[Y|X=x]=x/2$
ma dalle proprietà del valore atteso sappiamo anche che
$E[Y]=E{E[Y|X=x]}=E[X/2]=1/2E[X]=1/(2p)$
Probabilmente questa soluzione non è la stessa del tuo libro ma è la più elegante....
Dai dati sappiamo che
$(Y|X=x)~ U(0,1,...,x)$ di media $x/2$
$X~Ge(p)$ di media $1/p$
quindi $E[Y|X=x]=x/2$
ma dalle proprietà del valore atteso sappiamo anche che
$E[Y]=E{E[Y|X=x]}=E[X/2]=1/2E[X]=1/(2p)$
Probabilmente questa soluzione non è la stessa del tuo libro ma è la più elegante....
Oltre che più elegante è proprio più intelligente usare quella proprietà.
Ti ringrazio molto!
Ti ringrazio molto!
"iuizi":
...Ho solo 2 esercizi di questo tipo ....
Eccone subito altri 4 (selezionati apposta per te e molto belli)
1
2
3
4
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