Esercizio stimatori di massima verosimiglianza
Ho il seguente esercizio da fare,
Sia \(\displaystyle (X_1,\ldots,X_9) \) un campione casuale estratto da una legge normale di media \(\displaystyle \mu \) e \(\displaystyle \sigma^2=\frac{1}{9} \) con realizzazione
\(\displaystyle (0,1; 0,4; 0,7; 0,9; 0,9; 1; 1,5; 1,8) \)
Ho che la media campionaria \(\displaystyle \bar{x}=0,9 \) e dal primo punto ricavo che un intervallo di confidenza bilaterale al \(\displaystyle 96\% \) per \(\displaystyle \mu \) è \(\displaystyle (0,62; 1,18) \)
Al secondo punto ho da determinare uno stimatore di \(\displaystyle \mu \) con il metodo di massima verisimiglianza.
A riguardo di ciò ricavo che la funzione di massima verisimiglianza è
\(\displaystyle L(\mu)=\prod_{i=1}^{9}\frac{3}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{9}{2}\left(x_i-\mu\right)^2} \)
Ora dovrei massimizzare \(\displaystyle \mu \) ponendo \(\displaystyle \frac{d}{d\mu}L(\mu)=0 \)
C'è un modo più veloce per risolverlo oltre che andare a calcolare la derivata di 9 prodotti cioè avere sostanzialmente 9 somme di 9 prodotti
Sia \(\displaystyle (X_1,\ldots,X_9) \) un campione casuale estratto da una legge normale di media \(\displaystyle \mu \) e \(\displaystyle \sigma^2=\frac{1}{9} \) con realizzazione
\(\displaystyle (0,1; 0,4; 0,7; 0,9; 0,9; 1; 1,5; 1,8) \)
Ho che la media campionaria \(\displaystyle \bar{x}=0,9 \) e dal primo punto ricavo che un intervallo di confidenza bilaterale al \(\displaystyle 96\% \) per \(\displaystyle \mu \) è \(\displaystyle (0,62; 1,18) \)
Al secondo punto ho da determinare uno stimatore di \(\displaystyle \mu \) con il metodo di massima verisimiglianza.
A riguardo di ciò ricavo che la funzione di massima verisimiglianza è
\(\displaystyle L(\mu)=\prod_{i=1}^{9}\frac{3}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{9}{2}\left(x_i-\mu\right)^2} \)
Ora dovrei massimizzare \(\displaystyle \mu \) ponendo \(\displaystyle \frac{d}{d\mu}L(\mu)=0 \)
C'è un modo più veloce per risolverlo oltre che andare a calcolare la derivata di 9 prodotti cioè avere sostanzialmente 9 somme di 9 prodotti
Risposte
"Ub4thaan":
C'è un modo più veloce per risolverlo oltre che andare a calcolare la derivata di 9 prodotti cioè avere sostanzialmente 9 somme di 9 prodotti
Sì
Prima di tutto osservare che quella verosimiglianza la puoi scrivere meglio:
$L(mu) prop e^(-9/2Sigma(x-mu)^2)$
Per il calcolo dell'argmax, per come è definita la verosimiglianza (prodotto delle densità), viene sempre più comodo massimizzarne il logaritmo[nota]è più facile massimizzare una somma di funzioni piuttosto che un prodotto, tanto passando ad una trasformazione monotona crescente le caratteristiche della funzione iniziale in termini di crescenza o decrescenza rimangono invariate[/nota].
...in sostanza ti basta derivare questa funzione
$Y=-Sigma (x-mu)^2 rarr 2Sigma(x-mu)=0 $
Ora basta risolvere $Sigma(x-mu)=0 rarr Sigmax=n mu rarr hat(mu)=bar(X)_n$
PS
"Ub4thaan":
Sia \(\displaystyle (X_1,\ldots,X_9) \) un campione casuale estratto da una legge normale di media \(\displaystyle \mu \) e \(\displaystyle \sigma^2=\frac{1}{9} \) con realizzazione
\(\displaystyle (0,1; 0,4; 0,7; 0,9; 0,9; 1; 1,5; 1,8) \)
Hai messo una realizzazione campionaria di ampiezza 8
Si scusa, manca un 0,8 nella realizzazione.
Quindi sostanzialmente ho che tra \(\displaystyle L(\mu) \) e \(\displaystyle e^{-\frac{9}{2}\sum(x-\mu)} \) c'è un fattore di proporzionalità di \(\displaystyle \left(\frac{3}{\sqrt{2\pi}}\right)^9 \)
Per trovare \(\displaystyle \mu \) che massimizza quindi è sufficiente considerare il logaritmo perchè monotono (strettamente crescente) e siccome \(\displaystyle \frac{9}{2} \) è un fattore di proporzionalità ho che il \(\displaystyle \mu \) che massimizza \(\displaystyle L(\mu) \) è lo stesso che massimizza \(\displaystyle -\sum(x-\mu)^2 \) quindi poi derivo faccio i conti e ho finito
Quindi sostanzialmente ho che tra \(\displaystyle L(\mu) \) e \(\displaystyle e^{-\frac{9}{2}\sum(x-\mu)} \) c'è un fattore di proporzionalità di \(\displaystyle \left(\frac{3}{\sqrt{2\pi}}\right)^9 \)
Per trovare \(\displaystyle \mu \) che massimizza quindi è sufficiente considerare il logaritmo perchè monotono (strettamente crescente) e siccome \(\displaystyle \frac{9}{2} \) è un fattore di proporzionalità ho che il \(\displaystyle \mu \) che massimizza \(\displaystyle L(\mu) \) è lo stesso che massimizza \(\displaystyle -\sum(x-\mu)^2 \) quindi poi derivo faccio i conti e ho finito
esatto. Per essere precisi, lo stimatore di massima verosimiglianza NON è vero che è l'argmax....in realtà è l'argsup ma in genere non vi sono differenze nella procedura di calcolo. Si possono trovare delle difficoltà in casi in cui lo stimatore di massima verosimiglianza sia alla frontiera del dominio oppure anche al di fuori del dominio del parametro....ma sono casi abbastanza limite, non so se dovrai affrontarli.
Esempio:
Sulla base di un campione casuale di ampiezza n estratto da una popolazione uniforme $U(0;theta)$, estremi esclusi, determinare lo stimatore di massima verosimiglianza di $theta$...e magari anche un intervallo di confidenza.
In questo caso la procedura che hai imparato ad utilizzare per trovare lo stimatore di massima verosimiglianza di $theta$ non funziona.
Così come è più complicato trovare un intervallo di confidenza per il parametro in questione.
Esempio:
Sulla base di un campione casuale di ampiezza n estratto da una popolazione uniforme $U(0;theta)$, estremi esclusi, determinare lo stimatore di massima verosimiglianza di $theta$...e magari anche un intervallo di confidenza.
In questo caso la procedura che hai imparato ad utilizzare per trovare lo stimatore di massima verosimiglianza di $theta$ non funziona.
Così come è più complicato trovare un intervallo di confidenza per il parametro in questione.
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