Esercizio stimatori di massima verosimiglianza

[Grillo941]

Nella preparazione dell'esame di statistica mi sono imbattuto in questo esercizio:
Data una popolazione X con densitá di probabilitá
fX(x;t) = t*e^(-2t|x|)
dove t > 0, si determini uno stimatore di massima verosimiglianza per la derivata standard di X

Premettendo che conosco discretamente bene come ricavarmi gli stimatori di massima verosimiglianza per i parametri presenti nella densità di una popolazione ma non so come fare per la derivata standard

[Lo_zio_Tom]

premesso che non ho ben capito che funzione di t devi stimare, molto probabilmente l'esercizio si risolve utiizzando la proprietà di invarianza degli stimatori di MV: ogni funzione $g(hat(theta))$ dello stimatore di massima verosimiglianza $hat(theta)$ è lo stimatore più verosimile per $g(theta)$

PS: aiuterebbe anche scrivere per bene TUTTO il testo dell'esercizio:

- al posto delle formule hai scritto degli scarabocchi al limite della comprensione

- non hai scritto il dominio della densità (che è una Laplace, definita in $x in R$, immagino)

- non hai scritto l'ampiezza del campione utilizzato per lo stimatore di massima verosimiglianza

- derivata standard di X ?? sicuro che non sia "deviazione standard di X"?? Nel qual caso, come ti ho già suggerito, basta calcolare $sigma_X$ (che tra l'altro dovresti già conoscere visto che la distribuzione è nota), vedi che è una fuzione monotona di t, applichi la proprietà di invarianza ed hai terminato


saluti

[Grillo941]

L'esercizio richiede di stimare la deviazione standard di X
Riscrivo la densità $fx(X;t)=t*e^{-2*t*|x|}$
Quindi la mia domanda nonostante il suggerimento sia alquanto illuminante è come passare alla derivata standard dopo che ho stimato t, pensavo di sostituire lo stimatore nella densità e poi calcolare la derivata standard. È corretto?
PS mi scuso per la scrittura della formula, per gli appunti sull'esercizio mi scuso ma è formulato esattamente come ho riportato.

[Lo_zio_Tom]

"Grillo941":L'esercizio richiede di stimare la deviazione standard di X

pensavo di sostituire lo stimatore nella densità e poi calcolare la [strike]derivata[/strike] deviazione standard. È corretto?

No. Visto che sei appena iscritto ti mostro come procedere ma mi raccomando, dal prossimo topic ti chiedo cortesemente di inserire la TUA bozza di soluzione, così come previsto dal regolamento del forum.

1) Calcoliamo lo stimatore di massima verosimiglianza per il parametro t

$L(t,ul(x))=t^n e^(-2tsum_i|X_i|)$

$logL(t,ul(x))=n logt -2tsum_i|X_i|$

$(partial)/(partial t)logL(t,ul(x))=n/t -2sum_i|X_i|=0$

$hat(t)=n/(2sum_i|X_i|)$

2) calcoliamo la media $E[X]$

$E[X]=int_(-oo)^(+oo)txe^(-2t|x|)dx$

notiamo subito che $E[X]=0$ essendo l'integranda funzione dispari.

3) calcoliamo la varianza $V[X]=E[X^2]$

$E[X^2]=int_(-oo)^(+oo)tx^2e^(-2t|x|)dx=2int_(0)^(+oo)tx^2e^(-2tx)dx$ dato che l'integranda è funzione pari

$V[X]=1/(4t^2)int_(0)^(+oo)(2tx)^2e^(-2tx)d(2tx)=1/(4t^2) Gamma(3)=2/(4t^2)$

Quindi $sigma_X=sqrt(2)/2*1/t=g(t)$

Per la proprietà di invarianza degli stimatori di massima verosimiglianza otteniamo infine

$hat(sigma)_(MV)=g(hat(t))=sqrt(2)(sum_i |X_i|)/n$





PS: Continui imperterrito a nominare questa "derivata standard" che non so cosa sia... se mi illumini....

"Grillo941":
Quindi la mia domanda nonostante il suggerimento sia alquanto illuminante è come passare alla derivata standard dopo che ho stimato t

ciao