Esercizio statistica 2

[daddato8]

siano X e Y v.a i.i.d con distribuzione esponenziale e media 1/10

a) Calcolare Pr(X>=5y)
b) Dato Z = max (X,Y) determinare fz di Z
c)Dato S= X+Y

Premettendo che non sono un campione di statistica ho provato a farlo:
esplicitato il testo ho scritto:
$ f(x,lambda ){ ( lambda )e^(-lambdax ) $x>0, 0 altrove
$ f(y,lambda ){ ( lambda )e^(-lambday ) $ y>0, 0 altrove
a) non ne ho idea
b) nemmeno
c) $ { ( s=X+Y ),( v=Y ):} $
$ { ( X=s-v ),( Y=v ):} $

poi uso l integrale di convoluzione e ottengo
$ int_(-oo )^(+oo) fx(s-v)fy(v) dv $
alla fine ottengo

$ fs(s)= slambda ^(-lambdas) $ s>0 , 0 altrove
lambda dovrebbe essere 10 (dal testo) volendo si può sostituire

[Lo_zio_Tom]

"daddato8":
a) non ne ho idea
b) nemmeno
c)

$ fs(s)= slambda ^(-lambdas) $ s>0 , 0 altrove
lambda dovrebbe essere 10 (dal testo) volendo si può sostituire

stai inguaiato.....l'unico che hai fatto lo hai sbagliato:

a) basta integrare la funzione congiunta $f(x,y)$ ... (che poi è il prodotto delle due marginali) sull'insieme di interesse:

$P(X>5Y)=P(Y
...a te i conti

b) partiamo dalla CDF del massimo: $Z=max(X,Y)$

$F_(Z)(z)=P(Z<=z)=P[max(X,Y)<=z]=P(X<=z;Y<=z)=P(X<=z)P(Y<=z)=[P(X<=z)]^2=[1-e^(-10z)]^2$

per calcolarne la $f_(Z)(z)$ basta che fai la derivata....quello lo sai fare????




c)nel testo hai dimenticato qualche cosa ma penso tu voglia calcolare la distribuzione della somma $S=X+Y$

se le variabili sono iid esponenziali significa che sono delle distribuzioni $Gamma(1;lambda)$ e quindi utilizzando le proprietà della FGM sai anche qual è la distribuzione della somma, senza fare conti....se invece vuoi fare la convoluzione la devi fare giusta....

La distribuzione somma sarà una $Gamma(2;lambda)=lambda^2 s\cdot e^(-lambdas)$

come puoi notare la densità che ho trovato io fa davvero uno, integrata:

$int_(0)^(+oo)lambda^2s\cdote^(-lambdas)ds=int_(0)^(+oo)(lambdas)^(2-1)e^(-lambdas)d(lambdas)=Gamma(2)=1$

[daddato8]

b) devo fare la derivata di $ [1-e^(-10z)]^2 $ rispetto a z ?
è: $ 20e^(-20z)(e^(10z)-1) $
c) si mi sono scordato dato S=x+y determinare fs(s)

[daddato8]

mi scuso se ti sto stressando e grazie mille.
quindi il punto c) senza usare la convoluzione è come hai scritto tu?

[Lo_zio_Tom]

"daddato8":
quindi il punto c) senza usare la convoluzione è come hai scritto tu?

si può fare in entrambi i modi....se fai statistica 2 sarebbe meglio come ti ho indicato io....ma se fai la convoluzione la devi fare giusta:


$int_(0)^(z)f_(X)(x)f_(Y)(z-x)dx=int_(0)^(z)thetae^(-thetax)thetae^(-theta(z-x))dx=theta^2int_(0)^(z)e^(-thetaz)dx=$

$=theta^2e^(-thetaz)z$

così va bene....e come puoi notare il risultato è analogo a quello ottenuto utilizzando la funzione generatrice dei momenti