Esercizio statistica

[motonic949392]

Determinare il test più potente tra tutti i test di livello non superiore a 0,05 per la verifica del sistema di ipotesi $H_0:θ=1/2 , H_1:θ=1/4$ , dato un campione casuale semplice $y=(y_1,...,y_20)$ estratto dal modello $Exp(θ), θ∈ {1/4,1/2}$.

Io pensavo di risolverlo in questa maniera:
per prima cosa applico il lemma fondamentale di Neyman-Pearson per cui la funzione test è
$λ^*=[L(θ_H)]/[L(θ_A)]=(L(1/2))/(L(1/4))=((1/2)^20 exp{-1/2*\sum_{1=1}^20 y_i})/((1/4)^20 exp{-1/4*\sum_{1=1}^20 y_i})=(2)^20*exp{-(1/4)\sum_{1=1}^20 y_i}$
con regione di rifiuto pari a $S_R={y∈S:(2)^20*exp(-(1/4)\sum_{1=1}^20 y_i<=λ_α)}$
con $λ_α$ valore critico scelto in modo che $P((2)^20*exp{-(1/4)\sum_{1=1}^20 y_i}<=λ_α;θ_0=1/2)=α$
So che l'unica parte aleatoria è data da $\sum_{1=1}^20 y_i$ e sapendo che l'esponenziale è una Gamma(1,θ),
posso dire che $\sum_{1=1}^20 y_i$ è una Gamma(20,θ)
Risolvendo rispetto alla sommatoria $(2)^20*exp{-(1/4)\sum_{1=1}^20 y_i}<=λ_α$ ho che $\sum_{1=1}^20 y_i<=-4 log(λ_α (1/2)^20)$
e quindi $S_R={y∈S:\sum_{1=1}^20 y_i<=-4 log(λ_α (1/2)^20)$}.
Da qui in poi non so come risolvere l'esercizio. Ringrazio in anticipo per l'aiuto.

[Lo_zio_Tom]

Il metodo risolutivo va bene. Hai solo pasticciato con i conti.

A me torna una regione critica diversa (stai provando l'ipotesi sul parametro che è il reciproco della media, quindi più la media, oppure la somma, aumenta, più il parametro diminuisce).

Applicando il lemma fondamentale di Neyman-Pearson[nota]non è necessario portarsi dietro tutte le costanti facendo tutta quella pletora di calcoli per poi sbagliare il verso della disuguaglianza; basta utilizzare il nucleo di tale lemma e per il membro di destra della disuguaglianza stesso discorso: metti sempre k tanto è una costante che verrà determinata alla fine, nota la distribuzione della statistica test[/nota] ottieni

$(e^(-1/2Sigma_iY_i))/(e^(-1/4Sigma_iY_i))<=k$

$-1/4Sigma_iY_i<=k$

$Sigma_iY_i>k$

per il resto usi la definizione, ovvero calcoli

$P(Sigma_iY_i>k|theta=1/2)=0.05$

dato che $"Gamma"(20;1/2)="Gamma"((40)/2;1/2)=chi_((40))^2$, basta leggere il risultato sulla tavola di una $chi_((40))^2 rarr 55.76$

che è il tuo k critico

In sostanza rifiuti l'ipotesi di lavoro se e solo se $sum_(i=1)^(20)Y_i>55.76$

Oppure la puoi vedere anche diversamente:

Rifiuto l'ipotesi che la media sia 2 contro l'alternativa che sia 4 se e solo se la media campionaria $bar(Y)_(20)>(55,76)/20~~2.79$