Esercizio stadio
Buongiorno a tutti, sono qui per chiedervi lumi sull'esercizio seguente perché io e un mio amico non concordiamo sul risultato finale e non sappiamo chi ha ragione.
La situazione è questa: allo stadio ci sono 80k persone. Queste persone entrano attraverso 10 diversi cancelli. Due amici non si sono preavvisati ma si ritrovano vicini in fila per entrare, nello stesso cancello. Qual è la probabilità che questo succeda?
Per semplicità, diciamo che 8000 persone entrano in ciascun cancello e che per "trovare l'amico" è sufficiente guardarsi intorno (e abbiamo deciso di prendere un numero tondo come 50), quindi per considerare l'amico "sufficientemente vicino" dovrà essere al massimo 25 persone dietro o davanti.
Entrambi concordiamo sulla prima fase del problema, cioè entrambi dobbiamo prendere lo stesso cancello per entrare. E la probabilità che ciò accada è del 10%. È come se fosse un'urna con 10 numeri e entrambi dobbiamo pescare lo stesso. La probabilità del secondo di prendere la stessa palla del primo non può che essere 1/10.
Ci sono opinioni anche fortemente discordanti sulla seconda parte del problema invece, cioè dopo la scelta del cancello.
Per come la vedo io, è come avere un'urna con 8000 numeri e la probabilità di trovare l'amico è 50/8000 (o su 7999 se preferite, dato che il numero che prende il primo amico non può essere pescato anche dal secondo, ma la differenza è davvero poca).
Quindi secondo me la probabilità complessiva di trovare l'amico è di:
0,1 * 0,00625 = 0,000625
Cioè lo 0,06%. Sostanzialmente meno dello 0,1%.
Il mio amico invoca invece il concetto di dipendenza e dice "non li puoi moltiplicare così come se niente fosse, perché un evento dipende dall'altro". Come soluzione ha dato il 14% circa, dando come spiegazione il paradosso del compleanno e una formula particolare coi Fattoriale e un elevamento a potenza. Ma io ho fortemente contestato il risultato perché in nessun caso un singolo cancello può avere probabilità superiore al 10%.
Potete aiutarci a capire come va risolto l'esercizio per favore?
Vi ringrazio in anticipo
La situazione è questa: allo stadio ci sono 80k persone. Queste persone entrano attraverso 10 diversi cancelli. Due amici non si sono preavvisati ma si ritrovano vicini in fila per entrare, nello stesso cancello. Qual è la probabilità che questo succeda?
Per semplicità, diciamo che 8000 persone entrano in ciascun cancello e che per "trovare l'amico" è sufficiente guardarsi intorno (e abbiamo deciso di prendere un numero tondo come 50), quindi per considerare l'amico "sufficientemente vicino" dovrà essere al massimo 25 persone dietro o davanti.
Entrambi concordiamo sulla prima fase del problema, cioè entrambi dobbiamo prendere lo stesso cancello per entrare. E la probabilità che ciò accada è del 10%. È come se fosse un'urna con 10 numeri e entrambi dobbiamo pescare lo stesso. La probabilità del secondo di prendere la stessa palla del primo non può che essere 1/10.
Ci sono opinioni anche fortemente discordanti sulla seconda parte del problema invece, cioè dopo la scelta del cancello.
Per come la vedo io, è come avere un'urna con 8000 numeri e la probabilità di trovare l'amico è 50/8000 (o su 7999 se preferite, dato che il numero che prende il primo amico non può essere pescato anche dal secondo, ma la differenza è davvero poca).
Quindi secondo me la probabilità complessiva di trovare l'amico è di:
0,1 * 0,00625 = 0,000625
Cioè lo 0,06%. Sostanzialmente meno dello 0,1%.
Il mio amico invoca invece il concetto di dipendenza e dice "non li puoi moltiplicare così come se niente fosse, perché un evento dipende dall'altro". Come soluzione ha dato il 14% circa, dando come spiegazione il paradosso del compleanno e una formula particolare coi Fattoriale e un elevamento a potenza. Ma io ho fortemente contestato il risultato perché in nessun caso un singolo cancello può avere probabilità superiore al 10%.
Potete aiutarci a capire come va risolto l'esercizio per favore?
Vi ringrazio in anticipo
Risposte
Direi che il tuo ragionamento è impeccabile.
Se anche ci fosse un unico accesso, una volta che tu hai un numero, la probabilità che il tuo amico peschi l'altro tra i 50 "buoni", è $50/79.999=0,000625$
Se anche ci fosse un unico accesso, una volta che tu hai un numero, la probabilità che il tuo amico peschi l'altro tra i 50 "buoni", è $50/79.999=0,000625$
Avrei qualche osservazione in merito al problema proposto:
a parte il pressapochismo del testo (che evidentemente avete inventato bellamente) ed a parte anche il risultato insensato del tuo amico (8 mila persone in fila indiana in 10 ingressi diversi e una volta su 7 vi incontrate in coda.....dai su)
la soluzione numerica che hai trovato, ovvero lo $0.0625%$ è corretta ma il modo di procedere non va bene. Il tuo amico ha ragione a dire che gli eventi sono fra loro correlati. Il risultato ottenuto è identico a quello che si otterrebbe procedendo correttamente per via di $n rarr oo$ che fa "sparire" la correlazione. Il modo corretto di procedere in questi casi è tramite formula di disintegrazione di bayes:
$mathbb{P}[A]=sum_(i=1)^(n)mathbb{P}[A|X=x_i]f_X(x_i)$
che, a conti fatti, porta al risultato di circa $0.0624%$
Per rendertene conto prova a risolvere, ad esempio, questo semplice ma istruttivo esempio:
"London Underground":
Il mio amico invoca invece il concetto di dipendenza e dice "non li puoi moltiplicare così come se niente fosse, perché un evento dipende dall'altro". Come soluzione ha dato il 14% circa,
a parte il pressapochismo del testo (che evidentemente avete inventato bellamente) ed a parte anche il risultato insensato del tuo amico (8 mila persone in fila indiana in 10 ingressi diversi e una volta su 7 vi incontrate in coda.....dai su)
la soluzione numerica che hai trovato, ovvero lo $0.0625%$ è corretta ma il modo di procedere non va bene. Il tuo amico ha ragione a dire che gli eventi sono fra loro correlati. Il risultato ottenuto è identico a quello che si otterrebbe procedendo correttamente per via di $n rarr oo$ che fa "sparire" la correlazione. Il modo corretto di procedere in questi casi è tramite formula di disintegrazione di bayes:
$mathbb{P}[A]=sum_(i=1)^(n)mathbb{P}[A|X=x_i]f_X(x_i)$
che, a conti fatti, porta al risultato di circa $0.0624%$
Per rendertene conto prova a risolvere, ad esempio, questo semplice ma istruttivo esempio:
Si scelgono casualmente 3 punti su una circonferenza. Calcolare la probabilità che i 3 punti giacciano tutti sulla stessa semicirconferenza
Pensandoci un po' sono giunto a queste conclusioni.
Non tutti gli 8.000 posti di una fila, concedono una "vicinanza" di 50 (25 davanti e 25 dietro) persone.
Se ad esempio io ho il posto uno, avrò solo 25 "vicini" dietro. Simile per il posto ottomila.
Se ho il posto dodici, i miei "vicini" saranno solo 36 (undici davanti, e venticinque dietro).
Di conseguenza ci saranno le seguenti posizioniper ogni fila:
7.950 con 50 vicini = 397.500
2 con 49 vicini = 98
2 con 48 vicini = 96
-----
------
-----
2 con 26 vicini = 52
2 con 25 vicini = 50
Facendo la somma di tutti ottengo $399.350$
e $399.350/8.000=49,91875$ che è la media di vicini che ogni posto può avere.
Di conseguenza la probabilità di finire vicini è $(49,91875)/(10*7.999)=0,00062406238$
Che coincide con il risultato di Tommik
Se invece l'ingresso fosse stato unico, la probabilità sarebbe stata:
$(3.999.350)/(80.000*79.999)=0,00062490624$
Non tutti gli 8.000 posti di una fila, concedono una "vicinanza" di 50 (25 davanti e 25 dietro) persone.
Se ad esempio io ho il posto uno, avrò solo 25 "vicini" dietro. Simile per il posto ottomila.
Se ho il posto dodici, i miei "vicini" saranno solo 36 (undici davanti, e venticinque dietro).
Di conseguenza ci saranno le seguenti posizioniper ogni fila:
7.950 con 50 vicini = 397.500
2 con 49 vicini = 98
2 con 48 vicini = 96
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2 con 26 vicini = 52
2 con 25 vicini = 50
Facendo la somma di tutti ottengo $399.350$
e $399.350/8.000=49,91875$ che è la media di vicini che ogni posto può avere.
Di conseguenza la probabilità di finire vicini è $(49,91875)/(10*7.999)=0,00062406238$
Che coincide con il risultato di Tommik
Se invece l'ingresso fosse stato unico, la probabilità sarebbe stata:
$(3.999.350)/(80.000*79.999)=0,00062490624$
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