Esercizio sistemazione palline
Buonasera a tutti,
per la precisione la traccia dell 'esercizio è questa:
Dato che non devono essere mischiate, secondo me si può ipotizzare di disporre le palline in due scatole virtuali, in modo che ogni scatola contenga palline solo di un certo colore, quindi chiamo [tex]S_b[/tex] ed [tex]S_r[/tex] le scatole che contengono rispettivamente le bianche e le rosse.
Successivamente se considero le scatole singolarmente, in [tex]S_b[/tex] posso allineare le palline in [tex]6![/tex] modi, mentre in [tex]S_r[/tex] le posso allineare in [tex]4![/tex] modi.
E infine, dato che le due scatole posso essere scambiate di posto, il valore richiesto dalla traccia è [tex]2!4!6![/tex], secondo il mio ragionamento.
A lezione però il risultato fornito dal prof. è $ ( ( 10 ),( 6 ) ) $, ma non ho capito il suo ragionamento.
Secondo voi mi è sfuggito qualcosa nell' interpretazione della traccia?
Ringrazio in anticipo
per la precisione la traccia dell 'esercizio è questa:
In quanti modi è possibile sistemare 10 palline (6 bianche e 4 rosse) in modo da non mischiarle?
Dato che non devono essere mischiate, secondo me si può ipotizzare di disporre le palline in due scatole virtuali, in modo che ogni scatola contenga palline solo di un certo colore, quindi chiamo [tex]S_b[/tex] ed [tex]S_r[/tex] le scatole che contengono rispettivamente le bianche e le rosse.
Successivamente se considero le scatole singolarmente, in [tex]S_b[/tex] posso allineare le palline in [tex]6![/tex] modi, mentre in [tex]S_r[/tex] le posso allineare in [tex]4![/tex] modi.
E infine, dato che le due scatole posso essere scambiate di posto, il valore richiesto dalla traccia è [tex]2!4!6![/tex], secondo il mio ragionamento.
A lezione però il risultato fornito dal prof. è $ ( ( 10 ),( 6 ) ) $, ma non ho capito il suo ragionamento.
Secondo voi mi è sfuggito qualcosa nell' interpretazione della traccia?
Ringrazio in anticipo
Risposte
Tutto dipende da cosa intende "in modo da non mischiarle" !
Vista la soluzione che propone, immagino che abbia fatto questo ragionamento:
Immagina di avere 10 buchi in cui sistemare le 10 palline disposti orizzontalmente.
Immagina di numerare le 6 bianche da 1 a 6, e pensa di sistemare le 6 bianche (in questa sequenza, quindi senza invertirle) nei 10 posti liberi.
Ovviamente le altre 4 rosse (che numeri da 7 a 10), andranno di conseguenza nei 4 posti rimasti...
Che ne pensi ?
Vista la soluzione che propone, immagino che abbia fatto questo ragionamento:
Immagina di avere 10 buchi in cui sistemare le 10 palline disposti orizzontalmente.
Immagina di numerare le 6 bianche da 1 a 6, e pensa di sistemare le 6 bianche (in questa sequenza, quindi senza invertirle) nei 10 posti liberi.
Ovviamente le altre 4 rosse (che numeri da 7 a 10), andranno di conseguenza nei 4 posti rimasti...
Che ne pensi ?
"Alxxx28":
E infine, dato che le due scatole posso essere scambiate di posto, il valore richiesto dalla traccia è [tex]2!4!6![/tex], secondo il mio ragionamento.
.... ma scambiando le due scatole, è come se inverti l'ordine.... quindi come se le hai mischiate!
il $2!$ mi piace poco.
"Umby":
.... ma scambiando le due scatole, è come se inverti l'ordine.... quindi come se le hai mischiate!
il $2!$ mi piace poco.
Inverto l' ordine, però secondo la mia interpretazione non vengono mischiate, dato che le palline dello stesso colore rimangono tutte nello stesso "blocco".
Comunque secondo il tuo ragionamento mi sembra che esistano ben poche possibilità di sistemazione.
La frase "in quanti modi" della traccia mi fa pensare che l' ordine conta, e quindi supponendo si numerare le palline come dicevi, sono ammesse anche
sequenze tipo questa:
[tex]1,5,4,3,2,6[/tex] ovvero le palline dello stesso colore sono mischiate tra loro
Sei d' accordo?
"Alxxx28":
Sei d' accordo?
a parte il 2!, si che lo sono.
Ho provato a "interpretare" il testo, basandomi sul risultato che avevi indicato.
Ok, comunque forse bisogna ragionare sul rapporto [tex]\frac{(b + r)!}{b!r!}[/tex]
dove [tex]b[/tex] e [tex]r[/tex] sono i numeri di palline bianche e d quelle rosse rispettivamente.
[tex](b + r)!=10![/tex] è il numero di modi in cui si possono disporre tra loro tutte le palline, ma così vengono mischiate.
Non riesco a capire però di che tipo devono essere le sistemazioni, qualche osservazione?
Vi ringrazio ancora
dove [tex]b[/tex] e [tex]r[/tex] sono i numeri di palline bianche e d quelle rosse rispettivamente.
[tex](b + r)!=10![/tex] è il numero di modi in cui si possono disporre tra loro tutte le palline, ma così vengono mischiate.
Non riesco a capire però di che tipo devono essere le sistemazioni, qualche osservazione?
Vi ringrazio ancora
Studiando il concetto di 'insieme delle partizioni', ho osservato che ci potrebbe essere una relazione con il problema che sto cercando di risolvere.
Se considero come spazio dei campioni [tex]\Omega[/tex] l' insieme di tutte le 10 palline, posso ricavare due suoi sottoinsiemi disgiunti e tali che la loro unione sia [tex]\Omega[/tex].
[tex]B[/tex]={insieme delle 6 palline bianche}
[tex]R[/tex]={insieme delle 4 palline rosse}
{[tex]B,R[/tex]} è una partizione di [tex]\Omega[/tex], e inoltre la cardinalità di [tex]C(6,4)[/tex] è [tex]\frac{10!}{4!6!}[/tex].
Ma non sono sicuro che vada bene questo ragionamento, che ne pensate?
Se considero come spazio dei campioni [tex]\Omega[/tex] l' insieme di tutte le 10 palline, posso ricavare due suoi sottoinsiemi disgiunti e tali che la loro unione sia [tex]\Omega[/tex].
[tex]B[/tex]={insieme delle 6 palline bianche}
[tex]R[/tex]={insieme delle 4 palline rosse}
{[tex]B,R[/tex]} è una partizione di [tex]\Omega[/tex], e inoltre la cardinalità di [tex]C(6,4)[/tex] è [tex]\frac{10!}{4!6!}[/tex].
Ma non sono sicuro che vada bene questo ragionamento, che ne pensate?
Allora ti dico subito che ho letto solo il primo post.
Diciamo che il testo gia lascia qualche dubbio.
Comunque.
Le palline tra di loro non sono tutte distinte.
Immagina che siano numerate. A questo punto mi verrebbe da pensare che "non mischiate" voglia dire tutte a destra e tutte a sinistra.
(BBBBBBRRRR) (RRRRBBBBB) così.
Ora se tu prendi 2 B e le scambi: queste decuple sono diverse? Se sono numerate si. Ed in questo caso io appoggerei la tua idea $2*6!*4!$.
Se invece no e le scambi ne hai solo 2 "quelle che ti ho scritto".
Supponiamo di sceglierle a caso e calcoliamo delle probabilità (nel caso che non siano numerate).
$P("Non mischiate")=P("(B,B,B,B,B,B,R,R,R,R)"\ uu\ "(R,R,R,R,B,B,B,B,B,B)")=$
$=6/(10) \ 5/9\ 4/8\ 3/7\ 2/6\ 1/5\ 1*1*1*1\ +\ 4/(10)\ 3/9\ 2/8\ 1/7 \ 1*1*1*1*1*1$
Ragioniamo ora su casi possibili su favorevoli.
Quanti sono i possibili $((10),(4))$ quanti i favorevoli $2$.
$2/(((10),(4)))=P("Non mischiate")$
Se poi invece le consideri colorate e numerate i casi favorevoli sono $2*6!*4!$ ed i possibili $10!$.
$(2*6!*4!)/(10!)=P("Non mischiate")$
Diciamo che il testo gia lascia qualche dubbio.
Comunque.
Le palline tra di loro non sono tutte distinte.
Immagina che siano numerate. A questo punto mi verrebbe da pensare che "non mischiate" voglia dire tutte a destra e tutte a sinistra.
(BBBBBBRRRR) (RRRRBBBBB) così.
Ora se tu prendi 2 B e le scambi: queste decuple sono diverse? Se sono numerate si. Ed in questo caso io appoggerei la tua idea $2*6!*4!$.
Se invece no e le scambi ne hai solo 2 "quelle che ti ho scritto".
Supponiamo di sceglierle a caso e calcoliamo delle probabilità (nel caso che non siano numerate).
$P("Non mischiate")=P("(B,B,B,B,B,B,R,R,R,R)"\ uu\ "(R,R,R,R,B,B,B,B,B,B)")=$
$=6/(10) \ 5/9\ 4/8\ 3/7\ 2/6\ 1/5\ 1*1*1*1\ +\ 4/(10)\ 3/9\ 2/8\ 1/7 \ 1*1*1*1*1*1$
Ragioniamo ora su casi possibili su favorevoli.
Quanti sono i possibili $((10),(4))$ quanti i favorevoli $2$.
$2/(((10),(4)))=P("Non mischiate")$
Se poi invece le consideri colorate e numerate i casi favorevoli sono $2*6!*4!$ ed i possibili $10!$.
$(2*6!*4!)/(10!)=P("Non mischiate")$
Grazie per la risposta DajeForte.
Chiaro il tuo ragionamento, ma dato che la traccia è ambigua e nello stesso tempo il risultato del prof è $( ( 10),(6) )$, avevo pensato
ad un modo diverso, ragionando in termini di partizioni. Ho descritto questa mia idea nel post appena prima del tuo.
Chiaro il tuo ragionamento, ma dato che la traccia è ambigua e nello stesso tempo il risultato del prof è $( ( 10),(6) )$, avevo pensato
ad un modo diverso, ragionando in termini di partizioni. Ho descritto questa mia idea nel post appena prima del tuo.
Ciao Alexxx28, forse ti è sfuggito questo post di Umby:
Io penso che questa interpretazione è compatibile col risultato $((10),(6))$
"Umby":
Tutto dipende da cosa intende "in modo da non mischiarle" !
Vista la soluzione che propone, immagino che abbia fatto questo ragionamento:
Immagina di avere 10 buchi in cui sistemare le 10 palline disposti orizzontalmente.
Immagina di numerare le 6 bianche da 1 a 6, e pensa di sistemare le 6 bianche (in questa sequenza, quindi senza invertirle) nei 10 posti liberi.
Ovviamente le altre 4 rosse (che numeri da 7 a 10), andranno di conseguenza nei 4 posti rimasti...
Che ne pensi ?
Io penso che questa interpretazione è compatibile col risultato $((10),(6))$
@cenzo: non mi è sfuggito, secondo quel ragionamento esiste una sola possibilità di sistemazione, dato che la sequenza non può essere invertita.
"Alxxx28":
@cenzo: non mi è sfuggito, secondo quel ragionamento esiste una sola possibilità di sistemazione, dato che la sequenza non può essere invertita.
Non ho compreso bene, dici che col ragionamento proposto da Umby (per spiegare il risultato del tuo prof.) verrebbe una sola sistemazione delle palline invece di $((10),(6))=210$ ?
Io ho interpretato così quello che ha suggerito Umby:
numero le 6 palline blu (uso il blu al posto del bianco): 1,2,3,4,5,6
numero le 4 palline rosse: 7,8,9,10
Se intendiamo per "non mischiare" di mantenere lo stesso ordine (1,2,3,...) all'interno dello stesso colore, allora possiamo scegliere 6 posti (per le 6 palline blu) tra i 10 disponibili in $((10),(6))$ modi. Una volta scelti i 6 posti, abbiamo un solo modo di posizionare le 6 palline, dovendo conservare l'ordine 1,2,3,4,5,6. Restano quindi 4 posti liberi per le 4 palline rosse, che è possibile piazzare in un unico modo conservando l'ordine 7,8,9,10.
Esempio: supponiamo che tra le 210 combinazioni fissiamo le posizioni 1,3,4,7,8,9 per le 6 palline blu. La sistemazione sarà allora:
1,7,2,3,8,9,4,5,6,10
Spero di avere intepretato correttamente il suggerimento di Umby.
"cenzo":
Spero di avere intepretato correttamente il suggerimento di Umby.
Mi sembrava cosi' semplice la mia idea (ovvero l'idea del testo), che non avevo spiegato il tutto, cosi' come hai fatte te.
Certo, Cenzo, che intendevo proprio questo.... (pur non essendo in sintonia con il testo).
Continuo, invece, a non capire perchè alexx continua a dire "esiste una sola possibilità di sistemazione"...
"DajeForte":
Se poi invece le consideri colorate e numerate i casi favorevoli sono $2*6!*4!$ ed i possibili $10!$.
$(2*6!*4!)/(10!)=P("Non mischiate")$
Se le consideri anche numerate, e quindi "non scambiabili" i casi son solo 2.
La formula che hai scritto, dovrebbe portarti alla stessa soluzione della precedente (scritta in forma diversa)
Scusa Umby, avevo intepretato (molto) diversamente la tua idea.
Praticamente pensavo che intendevi che i posti in cui sistemare le prime 6 palline dovevano essere adiacenti, cioè alle posizioni
1,...,6 dovevano corrispondere le 6 palline bianche (numerate da 1 a 6).
Il risultato coincide, però è articolato come ragionamento rispetto alla richiesta della traccia.
Praticamente pensavo che intendevi che i posti in cui sistemare le prime 6 palline dovevano essere adiacenti, cioè alle posizioni
1,...,6 dovevano corrispondere le 6 palline bianche (numerate da 1 a 6).
Il risultato coincide, però è articolato come ragionamento rispetto alla richiesta della traccia.
"Alxxx28":
In quanti modi è possibile sistemare 10 palline (6 bianche e 4 rosse) in modo da non mischiarle?
Io avevo interpretato di avere 6B e 4R e di considerare il "non mischiare" come tutte rosse e tutte blue.
Avevoquindi inteso il $((10),(6))$ del prof come la numerosità dello spazio campionario.
Se il non mescolare si riferisce al fatto che una pallina dello stesso colore che ne precedeva un'altra dello stesso,
deve rimanere prima; il risultato è quello riportato.
"Alxxx28":
Scusa Umby, avevo intepretato (molto) diversamente la tua idea.
No problem.
Ne approfitto per dirti perchè non ero d'accordo con te sul $2!$ (interpretando il problema secondo il tuo punto di vista, ovvero di non mischiare le 10 palline nei due colori)
Immagina di averle su un tavolo, quindi non disposte in linea (vedi fig.)
Le 6 palline bianche (in fig. blu) puoi prenderle in $6!$ diversi,
mentre le 4 rosse in $4!$
quindi, moltiplicare ancora per 2, non ha molto senso.
Concordi ?
"Umby":
quindi, moltiplicare ancora per 2, non ha molto senso.
Concordi ?
Certo!
Gli "alloggiamenti" possibili secondo la tua idea corrispondono ai rettangoli esatto?
Nel senso che le palline blu(rosse) possono essere inserite solo nei rettangoli blu (rossi rispettivamente), è questo che intendi?
Esatto.
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