Esercizio semplice: trasformare una binomiale in una normale, ho fatto bene?
Salve ragazzi avrei bisogno di un conferma/smentita: sto all'inizio dello studio di questa ORRIBILE materia e non capisco se ho ragionato bene con questo esercizio. La traccia è la seguente:
Una scatola contiene 10 dadi con le facce numerate da 1 a 6. Uno di questi dadi è truccato e non fa mai uscire i numeri pari, mentre i numeri 1, 3, 5 escono tutti con probabilità 1/3. I restanti 9 dadi sono equilibrati. Si prende a caso un dado e lo si lancia 1000 volte.
1) Calcolare la probabilita che il 2 esca meno di 50 volte.
2) Calcolare la probabilita che il numero 1 esca piu di 150 volte.
Al punto 1 ho ragionato così:
Do un nome agli eventi. Sia $A = $ esce 2 e $B_i = $ lancio l'i-esimo dado. Dato che ho 10 dadi calcolo la probabilità di ottenere un 2 scegliendo a caso uno fra i 10 dadi. Utilizzo la formula della probabilità totale:
$P(A) = P(A | B_1) + ... + P(A | B_2) + P(A | B_10) = $
$ \sum_{k=1}^9 [P(A | B_i)xxP(Bi)] + P(A | B_10)xxP(B_10) = $
$ 9[(1/6)(1/10)] + 0 = $
$ 9[(1/60)] + 0 = 0.15$
In sostanza i primi 9 dadi gli ho considerati equi mentre l'ultimo truccato. Dunque ho 9 x "la probabilita che esca due sapendo di aver scelto un dado equo" + 0 in quanto il decimo dado non potrà mai dare come risultato due.
Giusto questo ragionamento?
Dopodichè, considero l'eserimento come bernoulliano dove successo = "esce 2" e fallimento = "non esce 2". Quindi si tratta di una variabile aleatoria $X$ discreta binomiale di parametri $n = 1000$ e $p = 0.15$.
Dato che:
$ np = 1000 xx 0.15 = 150 >= 5$
$ np(1-p) = 150 xx 0.85 = 127.5 >= 5$
Dunque dato che la binomiale prevede 1000 ripetizioni posso approssimare con una variabile aleatoria normale:
$ N(np, np(1-p)) = N(150, 127.5)$
Allora considero:
$ Z = (X - 150)/11.29$ dove $11.29 = sqrt(127.5)$
Quindi rispondo alla domanda:
$ P(X < 50) = P(Z < (50 - 150) / 11.29) = $
$ P(X < 50) = phi((50 - 150) / 11.29) = $
$ P(X < 50) = phi(-8.857) = P(-8.857) = 0$
E' giusto? La soluzione del mio prof da come risultato $P(Z <= -26.5) = 0$ e mi chiedevo dove stavo sbagliando. Grazie in anticipo.
Al punto 2 ho eseguito lo stesso ragionamento:
Sia Y la variabile aleatoria che conta quanti 1 sono usciti. Si tratta di una variabile aleatoria discreta binomiale di parametri $n = 1000$ e $p = 0.183$.
Questo perchè:
Sia C = "esce 1"
$P(C) = P(C | B_1) + ... + P(C | B_2) + P(C | B_10) = $
$ \sum_{k=1}^9 [P(C | B_i)xxP(Bi)] + P(C | B_10)xxP(B_10) = $
$ 9[(1/6)(1/10)] + [(1/3)(1/10)] = $/
$ 9[(1/60)] + 1/30 = 0.183$
Dato che:
$ np = 1000 xx 0.183 = 183 >= 5$
$ np(1-p) = 183 xx 0.817 = 149.5 >= 5$
Dunque ottengo:
$ N(np, np(1-p)) = N(183, 149.5)$
Allora considero:
$ Z = (Y - 183)/12.22$ dove $12.22 = sqrt(149.5)$
Quindi rispondo alla domanda:
$ P(Y > 150) = 1 - P(Y<=150) = P(Z < (150-183) / 12.22) = $
$ P(Y > 150) = 1 - phi((150 - 183) / 12.22) = $
$ P(Y > 150) = 1 - phi(2.7) = 1 - 0.99653 = 0.003$
Neanche qui mi trovo con il risultato del mio prof che invece dice che il risultato è 0.93 addirittura. Cosa ho sbagliato?
Una scatola contiene 10 dadi con le facce numerate da 1 a 6. Uno di questi dadi è truccato e non fa mai uscire i numeri pari, mentre i numeri 1, 3, 5 escono tutti con probabilità 1/3. I restanti 9 dadi sono equilibrati. Si prende a caso un dado e lo si lancia 1000 volte.
1) Calcolare la probabilita che il 2 esca meno di 50 volte.
2) Calcolare la probabilita che il numero 1 esca piu di 150 volte.
Al punto 1 ho ragionato così:
Do un nome agli eventi. Sia $A = $ esce 2 e $B_i = $ lancio l'i-esimo dado. Dato che ho 10 dadi calcolo la probabilità di ottenere un 2 scegliendo a caso uno fra i 10 dadi. Utilizzo la formula della probabilità totale:
$P(A) = P(A | B_1) + ... + P(A | B_2) + P(A | B_10) = $
$ \sum_{k=1}^9 [P(A | B_i)xxP(Bi)] + P(A | B_10)xxP(B_10) = $
$ 9[(1/6)(1/10)] + 0 = $
$ 9[(1/60)] + 0 = 0.15$
In sostanza i primi 9 dadi gli ho considerati equi mentre l'ultimo truccato. Dunque ho 9 x "la probabilita che esca due sapendo di aver scelto un dado equo" + 0 in quanto il decimo dado non potrà mai dare come risultato due.
Giusto questo ragionamento?
Dopodichè, considero l'eserimento come bernoulliano dove successo = "esce 2" e fallimento = "non esce 2". Quindi si tratta di una variabile aleatoria $X$ discreta binomiale di parametri $n = 1000$ e $p = 0.15$.
Dato che:
$ np = 1000 xx 0.15 = 150 >= 5$
$ np(1-p) = 150 xx 0.85 = 127.5 >= 5$
Dunque dato che la binomiale prevede 1000 ripetizioni posso approssimare con una variabile aleatoria normale:
$ N(np, np(1-p)) = N(150, 127.5)$
Allora considero:
$ Z = (X - 150)/11.29$ dove $11.29 = sqrt(127.5)$
Quindi rispondo alla domanda:
$ P(X < 50) = P(Z < (50 - 150) / 11.29) = $
$ P(X < 50) = phi((50 - 150) / 11.29) = $
$ P(X < 50) = phi(-8.857) = P(-8.857) = 0$
E' giusto? La soluzione del mio prof da come risultato $P(Z <= -26.5) = 0$ e mi chiedevo dove stavo sbagliando. Grazie in anticipo.
Al punto 2 ho eseguito lo stesso ragionamento:
Sia Y la variabile aleatoria che conta quanti 1 sono usciti. Si tratta di una variabile aleatoria discreta binomiale di parametri $n = 1000$ e $p = 0.183$.
Questo perchè:
Sia C = "esce 1"
$P(C) = P(C | B_1) + ... + P(C | B_2) + P(C | B_10) = $
$ \sum_{k=1}^9 [P(C | B_i)xxP(Bi)] + P(C | B_10)xxP(B_10) = $
$ 9[(1/6)(1/10)] + [(1/3)(1/10)] = $/
$ 9[(1/60)] + 1/30 = 0.183$
Dato che:
$ np = 1000 xx 0.183 = 183 >= 5$
$ np(1-p) = 183 xx 0.817 = 149.5 >= 5$
Dunque ottengo:
$ N(np, np(1-p)) = N(183, 149.5)$
Allora considero:
$ Z = (Y - 183)/12.22$ dove $12.22 = sqrt(149.5)$
Quindi rispondo alla domanda:
$ P(Y > 150) = 1 - P(Y<=150) = P(Z < (150-183) / 12.22) = $
$ P(Y > 150) = 1 - phi((150 - 183) / 12.22) = $
$ P(Y > 150) = 1 - phi(2.7) = 1 - 0.99653 = 0.003$
Neanche qui mi trovo con il risultato del mio prof che invece dice che il risultato è 0.93 addirittura. Cosa ho sbagliato?
Risposte
"s.capone7":
Una scatola contiene 10 dadi con le facce numerate da 1 a 6. Uno di questi dadi è truccato e non fa mai uscire i numeri pari, mentre i numeri 1, 3, 5 escono tutti con probabilità 1/3. I restanti 9 dadi sono equilibrati. Si prende a caso un dado e lo si lancia 1000 volte.
1) Calcolare la probabilita che il 2 esca meno di 50 volte.
2) Calcolare la probabilita che il numero 1 esca piu di 150 volte.
Calcola separatamente le probabilità di (1) e (2) per i dadi normali e il dado truccato.
In particolare, se scegli il dado truccato la probabilità di (2) è altissima. Quindi la tua risposta a (2) deve essere almeno un valore vicino a 0,1 ignorando del tutto i dadi normali, e la tua risposta di 0,003 è inverosimile.
C'è qualcosa che non mi torna con la risposta del prof a (1), però. Se prendi dado truccato, il numero 2 non può uscire. Quindi al risposta a (1) è almeno 0,1.
"s.capone7":
sto all'inizio dello studio di questa ORRIBILE materia e non capisco
Io invece non capisco perché se la ritieni orribile vieni ad interagire qui, in una community dove tutti la riteniamo "meravigliosa"
EDIT: per il primo esercizio vedi la risposta di @ghira: 0.1
Per il secondo caso:
Considerando le due variabili bernulliane $X_1~B(1;1/3)$ e $X_2~B(1;1/6)$ relative all'uscita del numero "uno" dal lancio di UN dato truccato o equilibrato, la probabilità cercata si trova con l'uso del teorema della probabilità totale
$\mathbb{P}(Y)=0.1\cdot\mathbb{P}(X_1)+0.9\cdot\mathbb{P}(X_2)$
La probabilità cercata è la ripetizione di 1000 copie della suddetta bernulliana. Infatti PRIMA si sceglie il dado e POI lo si lancia (sempre lo stesso dado) $n$ volte
Quindi, in poche parole
$P(Y>150)=1/10[1-\Phi((150-1000/3)/sqrt(1000*2/9))]+9/10[1-\Phi((150-1000/6)/sqrt(1000*5/(36)))]~~92.92%$
come richiesto....
MA, in realtà $n=1000$ non è abbastanza grande per non applicare la correzione per continuità per cui, una migliore approssimazione è questa
$P(Y>150)=1/10[1-\Phi((150.5-1000/3)/sqrt(1000*2/9))]+9/10[1-\Phi((150.5-1000/6)/sqrt(1000*5/(36)))]~~92.34%$
...quindi più vicina al 92% che non al 93%
^^^^^^^^^^^^^^^^^
Mi sono divertito a calcolare la probabilità esatta con il calcolatore trovando $P(X>150)~~92.468%$ per cui, come volevasi dimostrare, la mia approssimazione è molto meglio di quella del tuo prof
PS: la CDF di una gaussiana si indica $Phi$ e non $phi$...questo è un errore grave, è come scrivere "ieri sera sono andato ha casa presto"
"tommik":
Il primo è analogo ed il risultato viene decisamente zero, anche senza fare conti (non ho controllato il risultato del prof)
Forse non capisco la domanda. Non viene (essenzialmente) 0,1? ll 2 esce _sicuramente_ meno di 50 volte se prendi il dado truccato, altrimenti (essenzialmente) no. Quindi 0,1. Dove mi sbaglio?
lasciando giustamente perdere il dado truccato la cui probabilità di "2" è zero e quindi non l'aumenta, concentrandoci solo sul dado onesto abbiamo una distribuzione bernulliana $B(1;1/6)$ la cui somma è una binomiale $B(1000;1/6)$ di media 166.67. La probabilità che in una binomiale del genere i successi siano meno di 50 è praticamente zero
Questa è "una parte" della binomiale troncata in $[128;207]$ con una probabilità totale del 99.93% e come vedi, la probabilità che $X<128$ è già praticamente zero...
Questa è "una parte" della binomiale troncata in $[128;207]$ con una probabilità totale del 99.93% e come vedi, la probabilità che $X<128$ è già praticamente zero...
"tommik":
La probabilità che in una binomiale del genere i successi siano meno di 50 è praticamente zero
D'accordissimo. Ecco perché ho detto "essenzialmente". La risposta alla prima domanda non è (essenzialmente) "0,1"?
come "essenzialmente" 0.1 
il 2 non esce sul dado truccato e non esce nemmeno su quello sano....sarà "essenzialmente zero"
il 2 non esce sul dado truccato e non esce nemmeno su quello sano....sarà "essenzialmente zero"
"tommik":
come "essenzialmente" 0.1
"Calcolare la probabilità che il 2 esca meno di 50 volte."
Se prendo il dado truccato il 2 esce _sicuramente_ 0 volte. 0 è minore di 50. Se prendo un dado normale, il 2 esce molto ma molto probabilmente almeno 50 volte. La probabilità complessiva di avere meno di 50 "2" è, quindi, 0,1 più un valore trascurabile.
Dove mi sto sbagliando?
ops...hai perfettamente ragione 
ci ho messo un po' a capire ma è proprio così!
ci ho messo un po' a capire ma è proprio così!
"tommik":
ops...hai perfettamente ragione
Che sollievo!
"tommik":
[quote="s.capone7"] sto all'inizio dello studio di questa ORRIBILE materia e non capisco
Io invece non capisco perché se la ritieni orribile vieni ad interagire qui, in una community dove tutti la riteniamo "meravigliosa"
EDIT: per il primo esercizio vedi la risposta di @ghira: 0.1
Per il secondo caso:
Considerando le due variabili bernulliane $X_1~B(1;1/3)$ e $X_2~B(1;1/6)$ relative all'uscita del numero "uno" dal lancio di UN dato truccato o equilibrato, la probabilità cercata si trova con l'uso del teorema della probabilità totale
$\mathbb{P}(Y)=0.1\cdot\mathbb{P}(X_1)+0.9\cdot\mathbb{P}(X_2)$
La probabilità cercata è la ripetizione di 1000 copie della suddetta bernulliana. Infatti PRIMA si sceglie il dado e POI lo si lancia (sempre lo stesso dado) $n$ volte
Quindi, in poche parole
$P(Y>150)=1/10[1-\Phi((150-1000/3)/sqrt(1000*2/9))]+9/10[1-\Phi((150-1000/6)/sqrt(1000*5/(36)))]~~92.92%$
come richiesto....
MA, in realtà $n=1000$ non è abbastanza grande per non applicare la correzione per continuità per cui, una migliore approssimazione è questa
$P(Y>150)=1/10[1-\Phi((150.5-1000/3)/sqrt(1000*2/9))]+9/10[1-\Phi((150.5-1000/6)/sqrt(1000*5/(36)))]~~92.34%$
...quindi più vicina al 92% che non al 93%
^^^^^^^^^^^^^^^^^
Mi sono divertito a calcolare la probabilità esatta con il calcolatore trovando $P(X>150)~~92.468%$ per cui, come volevasi dimostrare, la mia approssimazione è molto meglio di quella del tuo prof
PS: la CDF di una gaussiana si indica $Phi$ e non $phi$...questo è un errore grave, è come scrivere "ieri sera sono andato ha casa presto"[/quote]
Grazie mille per la risposta! La materia in questione è orribile perchè ho un professore che non sa spiegare. Non è riuscito neanche a farci capire concetti base come la probabilità condizionata. Tutto quello che sto provando a fare è frutto del mio studio sui libri. Ma come hai potuto notare gli effetti sono scarsi quando sei completamente da solo.
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