Esercizio scemo di Probabilità
Salve a tutti, sto preparando l'esame di probabilità e mi sono imbattuto in un esercizio scemo scemo ma che mi sta bloccando. L'esercizio è il numero 25. Capitolo 3 del libro "Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze" di Sheldon Ross. Il testo è il seguente:
Vi è un 60% di probabilità che l'evento A si realizzi. Se ciò non accade vi è un 10% di probabilità che si realizzi un altro evento B.
- Qual è la probabilità che si realizzi almeno uno tra A e B?
- Se A è l'evento che il candidato democratico vinca le prossime elezioni presidenziali degli Stati Uniti e B è l'evento che un terremoto di magnitudo 6.2 o più colpisca Los Angeles durante l'anno seguente, che probabilità assumereste per il realizzarsi di entrambi gli eventi ?
Che cosa state assumendo implicitamente?
Il mio svolgimento (OVVIAMENTE ERRATO) per il punto a è il seguente:
E purtroppo si ferma solo a questo:
P(B) = P(B|A)*P(A)+P(B|A^c)(1-P(A))
= 0*0.6 + 0.1*0.4
= 0.04
Lo so che non è molto, ma è tutto ciò a cui sono arrivato.
Vi ringrazio in anticipo per la vostra cortesia e pazienza.
Le Soluzioni :
a. 40%
b. 3.84%
Vi è un 60% di probabilità che l'evento A si realizzi. Se ciò non accade vi è un 10% di probabilità che si realizzi un altro evento B.
- Qual è la probabilità che si realizzi almeno uno tra A e B?
- Se A è l'evento che il candidato democratico vinca le prossime elezioni presidenziali degli Stati Uniti e B è l'evento che un terremoto di magnitudo 6.2 o più colpisca Los Angeles durante l'anno seguente, che probabilità assumereste per il realizzarsi di entrambi gli eventi ?
Che cosa state assumendo implicitamente?
Il mio svolgimento (OVVIAMENTE ERRATO) per il punto a è il seguente:
E purtroppo si ferma solo a questo:
P(B) = P(B|A)*P(A)+P(B|A^c)(1-P(A))
= 0*0.6 + 0.1*0.4
= 0.04
Lo so che non è molto, ma è tutto ciò a cui sono arrivato.
Vi ringrazio in anticipo per la vostra cortesia e pazienza.
Le Soluzioni :
a. 40%
b. 3.84%
Risposte
"nutshell93":
Vi è un 60% di probabilità che l'evento A si realizzi. Se ciò non accade vi è un 10% di probabilità che si realizzi un altro evento B.
a) Qual è la probabilità che si realizzi almeno uno tra A e B?
Le Soluzioni :
a. 40%
b. 3.84%
Prima osservazione: l'evento A si realizza con probabilità 60%, ovvero $mathbb{P}[A]=0.6$
sotto determinate condizioni B ha probabilità positiva, quindi di sicuro è $mathbb{P}["B"]>0$.....come può essere possibile che la probabilità che si verifichi uno, l'altro o entrambi gli eventi sia minore del 60%? ...eddai
Seconda osservazione: sei iscritto al forum da 4 anni ed hai un numero di messaggi maggiore di 30; perché non usi le formule in modo appropriato? La prossima volta ti chiudo la discussione, così evitiamo tutti di perdere del tempo.
Terza osservazione: E' abbastanza evidente che la soluzione al punto a) è la seguente:
$mathbb{P}[A uu B]=1-mathbb{P}[bar(A) nnbar(B)]=1-0.4*0.9=0.64=64%$
Quarta osservazione: E' altrettanto evidente che più in là di così non si può andare nell'esercizio e dunque con questi dati l'ulteriore punto non potrebbe essere risolto....a meno di non introdurre una nuova ipotesi che, guarda caso, calza a pennello con l'esempio del punto b): gli eventi elezione del tizio e terremoto nella città Y sono tra loro INDIPENDENTI....a questo punto semplicemente trovi che la probabilità che si verifichino entrambi è del $6%$. Perché?
Quinta osservazione: Cosa significa "esercizio scemo"? Oltretutto se non riesci a risolverlo da solo....
Le chiedo scusa. Devo imparare ad usare il Latex, non volevo andare contro il regolamento del Forum.
"nutshell93":
Le chiedo scusa. Devo imparare ad usare il Latex, non volevo andare contro il regolamento del Forum.
????? ma allora, ad esempio, questo messaggio chi l'ha scritto?
EDIT: ho provato a cercare quell'esercizio sul Ross ma ho una vecchissima versione in inglese e non l'ho trovato. Ci sarà sicuramente un errore di stompa e quelle soluzioni saranno riferite ad un altro esercizio....succede.
l'ho scritto io tempo fa in effetti...ho pensato ingenuamente che scrivere una formula così breve non avrebbe procurato molto danni, ma ho sbagliato e chiedo scusa per questo. Ci sono delle regole ed è giusto attenersi a queste per il rispetto della comunità (sia lato moderatori che utenti).
Per quanto riguarda la soluzione a) anche a me non tornavano i conti...la risposta non poteva essere quella, anche a me veniva 0.64, ma anche qui non ho scusanti. E' il primo assioma della probabilità e avrei dovuto avere subito chiaro l'errore nelle risposte fornite dal libro.
Cerco di allegare la mia soluzione scrivendola in Latex :
$P(A)=0.6$
$ P(B | A^\{c} )=0.1 $
$P(B) = P[B \cap (\Omega)] = P[B \cap ( A \cup A^\{c})]= P(B \cup A) + P( B \cup A^\{c})$
$P(B \cap A^\{c}) = P(B | A^\{c}) \cdot P(A^\{c})$ dalla formula di Bayes
Sostituendo i precedenti risultati nella seguente formula
$P(A \cup B )=$
$P(A) + P(B) - P(A \cap B)=$
$P(A) +P(A \cap B) + P(B \cap A^\{c}) - P(A \cap B)=$
$P(A) + P( B | A^\{c}) \cdot P(A^\{c})=$
$0.6 + 0.1 \cdot 0.4=$
$0.64=$
$64%$
Per quanto riguarda l'ultima osservazione il mio era un modo di ironizzare sul fatto che nonostante l'esercizio fosse palesemente non eccessivamente complesso non mi stava riuscendo...era semplice autoironia… se comunque non è adeguato posso provvedere subito a modificarlo.
Per quanto riguarda la soluzione a) anche a me non tornavano i conti...la risposta non poteva essere quella, anche a me veniva 0.64, ma anche qui non ho scusanti. E' il primo assioma della probabilità e avrei dovuto avere subito chiaro l'errore nelle risposte fornite dal libro.
Cerco di allegare la mia soluzione scrivendola in Latex :
$P(A)=0.6$
$ P(B | A^\{c} )=0.1 $
$P(B) = P[B \cap (\Omega)] = P[B \cap ( A \cup A^\{c})]= P(B \cup A) + P( B \cup A^\{c})$
$P(B \cap A^\{c}) = P(B | A^\{c}) \cdot P(A^\{c})$ dalla formula di Bayes
Sostituendo i precedenti risultati nella seguente formula
$P(A \cup B )=$
$P(A) + P(B) - P(A \cap B)=$
$P(A) +P(A \cap B) + P(B \cap A^\{c}) - P(A \cap B)=$
$P(A) + P( B | A^\{c}) \cdot P(A^\{c})=$
$0.6 + 0.1 \cdot 0.4=$
$0.64=$
$64%$
Per quanto riguarda l'ultima osservazione il mio era un modo di ironizzare sul fatto che nonostante l'esercizio fosse palesemente non eccessivamente complesso non mi stava riuscendo...era semplice autoironia… se comunque non è adeguato posso provvedere subito a modificarlo.
no no ok....ogni tanto esagero....comunque la soluzione al problema è molto immediata.
Il testo ci dice che $mathbb{P}[B|bar(A)]=10%$
Dato che dobbiamo ipotizzare l'indipendenza degli eventi (ed è naturale farlo, se uno è l'elezione del tizio mentre l'altro è il terremoto) è anche evidente che
$mathbb{P}[B|bar(A)]=10%=mathbb{P}$
e quindi la soluzione al secondo punto non può che essere proprio $mathbb{P}[A]mathbb{P}=0.6*0.1=6%$
Per il primo punto ti consiglio di guardare la mia soluzione perché è molto più immediata.
Il testo ci dice che $mathbb{P}[B|bar(A)]=10%$
Dato che dobbiamo ipotizzare l'indipendenza degli eventi (ed è naturale farlo, se uno è l'elezione del tizio mentre l'altro è il terremoto) è anche evidente che
$mathbb{P}[B|bar(A)]=10%=mathbb{P}$
e quindi la soluzione al secondo punto non può che essere proprio $mathbb{P}[A]mathbb{P}=0.6*0.1=6%$
Per il primo punto ti consiglio di guardare la mia soluzione perché è molto più immediata.
Sì effettivamente è molto più immediata! Per il secondo punto non ho trovato particolari difficoltà. Ti ringrazio per la pazienza e la disponibilità. Buona serata!!
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