Esercizio riguardante sequenze e collezioni (Matematica Discreta)
Ciao ragazzi 
come da titolo, ho un piccolo esercizio da proporvi nel quale non riesco a comprendere dove sbaglio.
Il testo è questo: " Qual'è la probabilità che, distribuendo a caso 6 oggetti indistinguibili in 9 scatole distinte si ottenga una collezione di occupancy [2,2,1,1,0,0,0,0,0] ? ".
So che a seconda del professore che si trova la terminologia varia, qundi prima di tutto spero che il testo sia chiaro
Comunque, stiamo parlando di probabilità uniforme, cioè del classico casi favorevoli diviso casi possibili. Il mio problema sta nella modellizzazione matematica della situazione, ovvero:
mi è venuto abbastanza naturale cercare di risolvere usando le collezioni ( altri penso le chiamino combinazioni) in quanto non mi interessa l'ordine con cui vengono inserite le palline, ma solo la quantità per ogni scatola.
Seguendo questa logica però mi viene un risultato leggermente più basso. Infatti nella soluzione utilizzano una procedura diversa: facendo finta che le palline siano distinte, risolvono il tutto usando le sequenze ( anche dette disposizioni) .
Non riesco a capire il motivo della discrepanza nelle due risoluzioni. Se poteste darmi qualche consiglio, ve ne sarei grato
come da titolo, ho un piccolo esercizio da proporvi nel quale non riesco a comprendere dove sbaglio.
Il testo è questo: " Qual'è la probabilità che, distribuendo a caso 6 oggetti indistinguibili in 9 scatole distinte si ottenga una collezione di occupancy [2,2,1,1,0,0,0,0,0] ? ".
So che a seconda del professore che si trova la terminologia varia, qundi prima di tutto spero che il testo sia chiaro
Comunque, stiamo parlando di probabilità uniforme, cioè del classico casi favorevoli diviso casi possibili. Il mio problema sta nella modellizzazione matematica della situazione, ovvero:
mi è venuto abbastanza naturale cercare di risolvere usando le collezioni ( altri penso le chiamino combinazioni) in quanto non mi interessa l'ordine con cui vengono inserite le palline, ma solo la quantità per ogni scatola.
Seguendo questa logica però mi viene un risultato leggermente più basso. Infatti nella soluzione utilizzano una procedura diversa: facendo finta che le palline siano distinte, risolvono il tutto usando le sequenze ( anche dette disposizioni) .
Non riesco a capire il motivo della discrepanza nelle due risoluzioni. Se poteste darmi qualche consiglio, ve ne sarei grato
Risposte
A me verrebbe:
$(6!*9!)/(2!*2!*9^6*5!*2!*2!)=(6*8!)/(9^5*2!*2!*2!*2!)=(8!)/(9^4*3*2!*2!*2!)=(7!)/(9^4*3)=0,256$
Se magari posti le due soluzioni, forse riesco a spiegare la discrepanza. Forse.....
Avevo fatto un piccolo errore...
$(6!*9!)/(2!*2!*9^6*5!*2!*2!)=(6*8!)/(9^5*2!*2!*2!*2!)=(8!)/(9^4*3*2!*2!*2!)=(7!)/(9^4*3)=0,256$
Se magari posti le due soluzioni, forse riesco a spiegare la discrepanza. Forse.....
Avevo fatto un piccolo errore...
La mia soluzione sarebbe questa:
Come spazio campionario scelgo le 6-collezioni di 9 con ripetizione , ovvero usando la formula viene il binomiale $ ( (14), (6) ) $
come evento possibile invece, scelgo le 6-collezioni di 9 con collezione di occupancy $ [2,2,1,1,0,0,0,0,0] $ ; anche qui uso la formula specifica e mi viene $ (9!)/(2!2!5!) $
Dunque il mio calcolo finale sarebbe $ [(9!)/(2!2!5!)]/[(14!)/(6!8!)] $
Semplifico un pò di roba e viene $ (9!*3*8!)/(2!*14!) $ che come risultato dà $ 0.252 $
Nella soluzione proposta invece fanno finta che le palline siano distinte ed usano le sequenze:
come spazio campionario 6-sequenza di 9 che sono $ 9^6 $ e come eventi favorevoli usano le 6-sequenze di 9 con collezione di occupancy $ [2,2,1,1,0,0,0,0,0] $
usando la formula, queste sono $ (6!)/(2!*2!)*(9!)/(5!*2!*2!) $
e quindi la probabilità cercata è $ [(6!)/(2!*2!)*(9!)/(5!*2!*2!)]/9^6 $ che svolgendo i conti dà $ (180 * 756)/(531441) = 0.256 $
E' una piccola discrepanza che però non va bene, significa che c'è qualcosa che non torna, i risultati devono combaciare perfettamente
Come spazio campionario scelgo le 6-collezioni di 9 con ripetizione , ovvero usando la formula viene il binomiale $ ( (14), (6) ) $
come evento possibile invece, scelgo le 6-collezioni di 9 con collezione di occupancy $ [2,2,1,1,0,0,0,0,0] $ ; anche qui uso la formula specifica e mi viene $ (9!)/(2!2!5!) $
Dunque il mio calcolo finale sarebbe $ [(9!)/(2!2!5!)]/[(14!)/(6!8!)] $
Semplifico un pò di roba e viene $ (9!*3*8!)/(2!*14!) $ che come risultato dà $ 0.252 $
Nella soluzione proposta invece fanno finta che le palline siano distinte ed usano le sequenze:
come spazio campionario 6-sequenza di 9 che sono $ 9^6 $ e come eventi favorevoli usano le 6-sequenze di 9 con collezione di occupancy $ [2,2,1,1,0,0,0,0,0] $
usando la formula, queste sono $ (6!)/(2!*2!)*(9!)/(5!*2!*2!) $
e quindi la probabilità cercata è $ [(6!)/(2!*2!)*(9!)/(5!*2!*2!)]/9^6 $ che svolgendo i conti dà $ (180 * 756)/(531441) = 0.256 $
E' una piccola discrepanza che però non va bene, significa che c'è qualcosa che non torna, i risultati devono combaciare perfettamente
"alevise1992":
Dunque il mio calcolo finale sarebbe $ [(9!)/(2!2!5!)]/[(14!)/(6!8!)] $
Semplifico un pò di roba e viene $ (9!*3*8!)/(2!*14!) $ che come risultato dà $ 0.252 $
Io avrei fatto come te.
I casi totali sono le combinazioni con ripetizione (di 9 oggetti di classe 6, che è uguale alle combinazioni semplici di 14 oggetti di classe 6), cioè:
$C'(9;6) = C(14;6) = 3003$
I casi favorevoli sono $(9!)/(5!*2!*2!)= 756 $
e quindi la probabilità è $=0,251748252$
Secondo me i casi totali sono $9^6=531.441$.
Perchè essendo una distribuzione casuale, potrebbero anche finire tutte e 6 nella stessa scatola.
Quel che non capisco, è perchè usate le combinazioni con ripetizione.
Una volta che ho estratto un oggetto, lo metto in una delle scatole. Mica lo rimetto nel mucchio con gli altri!
Perchè essendo una distribuzione casuale, potrebbero anche finire tutte e 6 nella stessa scatola.
Quel che non capisco, è perchè usate le combinazioni con ripetizione.
Una volta che ho estratto un oggetto, lo metto in una delle scatole. Mica lo rimetto nel mucchio con gli altri!
La ripetizione non è negli oggetti che estrai, ma nelle scatole in cui li inserisci.. gli oggetti posso inserirli anche tutti in una scatola, e questo mi darebbe come risultato una combinazione del tipo ( 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , 7 ) supponendo che la scatola sia la numero 7; la ripetizione stà nelle scatole in cui inserisco le palline
Devo dire che sono un poco confuso......
Qua, facendo in una maniera o nell'altra, la differenza è minima.
Però pensiamo questo: usiamo 2 oggetti soltanto, però ci teniamo le 9 scatole.
Qual è la probabilità di ottenere la sequenza 2-0-0-0-0-0-0-0-0 ?
Facendo come fate voi viene $9/45=1/5$
Facendo come faccio io (e il libro...) $9/81=1/9$
E qua la differenza è cospicua.....
Il fatto è che le combinazioni sono quelle, ma non sono tutte equiprobabili.
Tornando al vostro caso, vediamo la sequenza 6-0-0-0-0-0-0-0-0.
Con un metodo $9/(3.003)$, con l'altro $9/(531.441)$.
Ma, come detto, sono confuso, e non so quale sia quello corretto....
P.S. Però più ci penso, più mi sembra corretto quello che ho usato. Specie ripensando all'ultimo esempio che ho fatto.
Qua, facendo in una maniera o nell'altra, la differenza è minima.
Però pensiamo questo: usiamo 2 oggetti soltanto, però ci teniamo le 9 scatole.
Qual è la probabilità di ottenere la sequenza 2-0-0-0-0-0-0-0-0 ?
Facendo come fate voi viene $9/45=1/5$
Facendo come faccio io (e il libro...) $9/81=1/9$
E qua la differenza è cospicua.....
Il fatto è che le combinazioni sono quelle, ma non sono tutte equiprobabili.
Tornando al vostro caso, vediamo la sequenza 6-0-0-0-0-0-0-0-0.
Con un metodo $9/(3.003)$, con l'altro $9/(531.441)$.
Ma, come detto, sono confuso, e non so quale sia quello corretto....
P.S. Però più ci penso, più mi sembra corretto quello che ho usato. Specie ripensando all'ultimo esempio che ho fatto.
Avevo intuito che le combinazioni non fossero tutte equiprobabili, però non riesco a capire quali di queste combinazioni compaiono più volte
in effetti mettere in sequenza è un modo per ovviare a questo problema, perchè così ogni disposizione compare una volta e sono tutte equiprobabili
in effetti mettere in sequenza è un modo per ovviare a questo problema, perchè così ogni disposizione compare una volta e sono tutte equiprobabili
Ho provato a risolvere il problema utilizzando l'albero completo degli inserimenti (è lungo, ma non troppo). Il risultato coincide con quello del libro.
Ciao
B.
Ciao
B.
"orsoulx":
Il risultato coincide con quello del libro.
Ciao
B.
Sì, ho sbagliato a considerare equiprobabili le 11 partizioni dei 6 oggetti nelle 9 scatole.
Invece, ad esempio:
6 - 0 - 0 - 0- 0- 0- 0- 0- 0
9 casi, si ottiene in un modo solo, mentre:
1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 -0- 0- 0
84 casi, può realizzarsi in ben $6! = 720$ modi
Ciao
Nino
Ok ho capito bisogna stare attenti alle combinazioni perchè potrebbero celare eventi non equiprobabili
bisogna stare attenti alle combinazioni perchè potrebbero celare eventi non equiprobabili
In questo caso (2-2-1-1-0-0-0-0-0) la differenza era minima perchè il rapporto $(531.441)/(3.003)$ vale circa $177$.
Mentre il rapporto $(136.080)/756$ è pari a $180$
Mentre il rapporto $(136.080)/756$ è pari a $180$
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