Esercizio relativo alla probabilità di overbooking
ragazzi qualcuno mi aiuta con questo esercizio?
Una compagnia aerea accetta prenotazioni telefoniche per un volo per
cui, sul velivolo, sono disponibili 300 posti. La probabiltà, statisticamente rilevata,
che una prenotazione sia confermata è dell’80%. Quante prenotazioni al
più la compagnia può accettare perché il rischio di overbooking non sia superiore
al 2%?
il rischio di overbooking incorre quando la compagnia accetta un numero di preotazioni maggiore ai posti disponibili.
Vi dico come io ho ragionato:
la probabilità che una prenotazione non sia confermata è del 20% (per cui su 300 posti , questa corrisponde a 60 posti). Per cui, se la compagnia accettasse 360 prenotazioni il rischio di overbooking sarebbe pari a zero. Dato che qui viene richiesto che il rischio di overbooking non sia superiore al 2%,la compagnia deve accettare un numero di prenotazioni maggiore di 360. Ho quindi calcolato il 2% dei 60 posti (che è pari a 1,2 posti), e da qui ho detto che affinchè il rischio sia inferiore al 2% la compagnia non dovrà accettare prenotazioni per più di 361 posti.
qualcuno sa dirmi se il ragionamento è corretto, o ,in caso contrario cosa c'è di sbagliato?
Grazie!
Una compagnia aerea accetta prenotazioni telefoniche per un volo per
cui, sul velivolo, sono disponibili 300 posti. La probabiltà, statisticamente rilevata,
che una prenotazione sia confermata è dell’80%. Quante prenotazioni al
più la compagnia può accettare perché il rischio di overbooking non sia superiore
al 2%?
il rischio di overbooking incorre quando la compagnia accetta un numero di preotazioni maggiore ai posti disponibili.
Vi dico come io ho ragionato:
la probabilità che una prenotazione non sia confermata è del 20% (per cui su 300 posti , questa corrisponde a 60 posti). Per cui, se la compagnia accettasse 360 prenotazioni il rischio di overbooking sarebbe pari a zero. Dato che qui viene richiesto che il rischio di overbooking non sia superiore al 2%,la compagnia deve accettare un numero di prenotazioni maggiore di 360. Ho quindi calcolato il 2% dei 60 posti (che è pari a 1,2 posti), e da qui ho detto che affinchè il rischio sia inferiore al 2% la compagnia non dovrà accettare prenotazioni per più di 361 posti.
qualcuno sa dirmi se il ragionamento è corretto, o ,in caso contrario cosa c'è di sbagliato?
Grazie!
Risposte
Il ragionamento che hai fatto non mi pare corretto;
ora cerco di darti delle indicazioni poi prova a proseguire te.
Innanzitutto
no, 60 è il numero atteso di posti non confermati su 300 posti prenotati;
non è vero perchè a partire da 360 prenotazioni me la possono confermare tutti; inoltre fai attenzione che il 20% di 360 non è 60 ma è 72.
Da qua in poi non sono più riuscito a seguirti.
Vediamolo insieme. In un certo senso è simile all'esercizio sui contratti assicurativi; allora prova a ragionare così:
definisci la variabile aleatoria $P_i$ ="la prenotazione i-esima viene confermata oppure no"
Ora che tipo di variabile aleatoria è? (è una distribuzione nota)
Assumi che le v.a. (sulla conferma o meno delle prenotazioni) siano indipendenti ed identicamente distribuite.
Definisci la variabile $P(n)$ ="numero di conferme su $n$ prenotazioni"
La domanda ora è: come esprimi $P(n)$ in funzione delle $P_i$ per $i=1,...,n$? Che distribuzione ha?
Definita questa variabile cerca di capire che probabilità ti chiede l'esercizio e su quale variabile (non aleatoria ma variabile del problema) devi andare ad incidere.
Ora prova un po' a partire da queste considerazioni poi vediamo.
Ciao
ora cerco di darti delle indicazioni poi prova a proseguire te.
Innanzitutto
la probabilità che una prenotazione non sia confermata è del 20% (per cui su 300 posti , questa corrisponde a 60 posti)
no, 60 è il numero atteso di posti non confermati su 300 posti prenotati;
Per cui, se la compagnia accettasse 360 prenotazioni il rischio di overbooking sarebbe pari a zero
non è vero perchè a partire da 360 prenotazioni me la possono confermare tutti; inoltre fai attenzione che il 20% di 360 non è 60 ma è 72.
Da qua in poi non sono più riuscito a seguirti.
Vediamolo insieme. In un certo senso è simile all'esercizio sui contratti assicurativi; allora prova a ragionare così:
definisci la variabile aleatoria $P_i$ ="la prenotazione i-esima viene confermata oppure no"
Ora che tipo di variabile aleatoria è? (è una distribuzione nota)
Assumi che le v.a. (sulla conferma o meno delle prenotazioni) siano indipendenti ed identicamente distribuite.
Definisci la variabile $P(n)$ ="numero di conferme su $n$ prenotazioni"
La domanda ora è: come esprimi $P(n)$ in funzione delle $P_i$ per $i=1,...,n$? Che distribuzione ha?
Definita questa variabile cerca di capire che probabilità ti chiede l'esercizio e su quale variabile (non aleatoria ma variabile del problema) devi andare ad incidere.
Ora prova un po' a partire da queste considerazioni poi vediamo.
Ciao
definisci la variabile aleatoria Pi ="la prenotazione i-esima viene confermata oppure no"
Ora che tipo di variabile aleatoria è? (è una distribuzione nota)
Assumi che le v.a. (sulla conferma o meno delle prenotazioni) siano indipendenti ed identicamente distribuite.
Definisci la variabile P(n) ="numero di conferme su n prenotazioni"
La domanda ora è: come esprimi P(n) in funzione delle Pi per i=1,...,n? Che distribuzione ha?
credo si stia trattando di una distribuzione di Bernoulli ,tuttavia ho dei problemi ha tradurre il tutto in formule.
Praticamente io dovrei calcolare quante prenotazioni max devo accettare per avere una probabilità di conferma del 98% , quindi se non erro avrei che :
98%= $((n,),(P(n),))$ * $0,8^(P(n))$ * $0,2^(n-(P(n)))$
adesso però mi rimangono queste incognite e come faccio?
Si la distribuzione è giusta ed è una binomiale
$P(P(n)=k) \quad = \quad ((n),(k)) 0.8^k 0.2^(n-k)$ per $k=0,1,...,n$.
Se la compagnia accetta $n$ prenotazioni ($P(n)$ sono le conferme) quale è la probabilità che la compagnia vada in overbooking avendo 300 posti?
$P(P(n)=k) \quad = \quad ((n),(k)) 0.8^k 0.2^(n-k)$ per $k=0,1,...,n$.
Se la compagnia accetta $n$ prenotazioni ($P(n)$ sono le conferme) quale è la probabilità che la compagnia vada in overbooking avendo 300 posti?
La probabilità che la compagnia vada in overbooking si ha quando le P(n)=k conferme sono maggiori dei 300 posti a disposizione. Noi vogliamo che questa probabilità non sia superiore al 2% e quindi dovremmo avere:
$ 2% <= ( ( n ),( k ) )(0,8)^(k) (0,2)^(n-k) $
ma adesso come la risolvo?
$ 2% <= ( ( n ),( k ) )(0,8)^(k) (0,2)^(n-k) $
ma adesso come la risolvo?
La probabilità che la compagnia vada in overbooking si ha quando le P(n)=k conferme sono maggiori dei 300 posti a disposizione.
se$P(n)=k$ vuol dire che hai esattamente $k$ conferme su $n$ prenotazioni;
noi vogliamo la probabilità che il numero di conferme sia maggiore di 300 sia minore del 2%
si d'accordo..ma potresti dirmi come risolvere la questione in termini numerici?
Io te lo dico però c'eri ariivato ormai.
La probabilità è $P(P(n)>300) \quad = \quad sum_(k=301)^n ((n),(k)) 0.8^k 0.2^(n-k)$ per $n>300$.
Ora tu devi trovare il più grande $n$ tale che quella probabilità sia minore del 2%.
Puoi farlo o con programmi tipo matlab R o altri soft; oppure fai un'approssimazione normale.
A me con calcolo diretto mi viene $n=356$.
Cioè $P(P(357)>300) \quad > \quad 2% \quad > \quad P(P(356)>300)$.
La probabilità è $P(P(n)>300) \quad = \quad sum_(k=301)^n ((n),(k)) 0.8^k 0.2^(n-k)$ per $n>300$.
Ora tu devi trovare il più grande $n$ tale che quella probabilità sia minore del 2%.
Puoi farlo o con programmi tipo matlab R o altri soft; oppure fai un'approssimazione normale.
A me con calcolo diretto mi viene $n=356$.
Cioè $P(P(357)>300) \quad > \quad 2% \quad > \quad P(P(356)>300)$.
l'unico problema è che questi esercizi li devo svolgere in uno scritto in classe, dove sicuramente non avrò a disposizione software di calcolo!!! 
beh....ti ringrazio comunque! alla prossima!
beh....ti ringrazio comunque! alla prossima!
In questo caso come nell'esercizio dei contratti assicurativi devi fare un'approssimazione normale.
A questo punto tu hai che $P(n))$ si distribuisce per $n$ grande approssimativamente come una normale di media $n 0.8$ e varianza $n (0.8) 0.2=n 0.16$
Ora $P(P(n)>300)=P((P(n)-n 0.8)/(sqrt(n 0.16)) \quad > \quad (300-n 0.8)/(sqrt(n 0.16)) ) ~= P(N \quad > \quad (300-n 0.8)/(sqrt(n 0.16)) ) $
dove $N$ rappresenta la normale standard.
La $P(N>z)=2%$ per $z~=2.05$ (questo valore lo leggi sulle tavole della distribuzione); da queste due probabilità devi imporre l'uguaglianza tra
$(300-n 0.8)/(sqrt(n 0.16))=2.05$
La risolvi (eventualmente con delle approssimazioni) ed ottieni $n$ ( a me con delle approssimazioni mi viene $n=355$).
A questo punto tu hai che $P(n))$ si distribuisce per $n$ grande approssimativamente come una normale di media $n 0.8$ e varianza $n (0.8) 0.2=n 0.16$
Ora $P(P(n)>300)=P((P(n)-n 0.8)/(sqrt(n 0.16)) \quad > \quad (300-n 0.8)/(sqrt(n 0.16)) ) ~= P(N \quad > \quad (300-n 0.8)/(sqrt(n 0.16)) ) $
dove $N$ rappresenta la normale standard.
La $P(N>z)=2%$ per $z~=2.05$ (questo valore lo leggi sulle tavole della distribuzione); da queste due probabilità devi imporre l'uguaglianza tra
$(300-n 0.8)/(sqrt(n 0.16))=2.05$
La risolvi (eventualmente con delle approssimazioni) ed ottieni $n$ ( a me con delle approssimazioni mi viene $n=355$).
grazie davvero dell'aiuto!
comunque ho riprovato a fare i calcoli suggeriti, ma vengono due valori
$ $ n=355 , n=395 $ $
come mai tu prendi solo il primo risultato?
$ $ n=355 , n=395 $ $
come mai tu prendi solo il primo risultato?
Non si vedono le formule
semplicemente ho risolto la relazione
$(300-n 0.8)/(sqrt(n 0.16))=2.05$
sviluppando mi viene:
$ 90000 +0,64(n)^(2) -480n = 0,6724n $
$ 0,64(n)^(2) - 480,6724n +90000 = 0 $
è un'equazione di secondo grado che ho risolto trovando come valori
n=355
n=395
$(300-n 0.8)/(sqrt(n 0.16))=2.05$
sviluppando mi viene:
$ 90000 +0,64(n)^(2) -480n = 0,6724n $
$ 0,64(n)^(2) - 480,6724n +90000 = 0 $
è un'equazione di secondo grado che ho risolto trovando come valori
n=355
n=395
Fai attenzione che $2.05$ è positivo uguagliarlo al membro di sinistra (che è un rapporto) vuol dire che $n$ deve essere tale che il denominatore ed il numeratore siano entrambi o positivi o negativi. Dato che il denominatore è sempre positivo anche il numeratore deve essere positivo cioè:
$300-n0.8>0$ ovvero $n<300/(0.8)=375$
D'altronde se vai a sostituire nell'equazione iniziale i due valori con 355 torna con 395 non torna (e viene l'opposto proprio perchè elevando al quadrato annuli il segno)
$300-n0.8>0$ ovvero $n<300/(0.8)=375$
D'altronde se vai a sostituire nell'equazione iniziale i due valori con 355 torna con 395 non torna (e viene l'opposto proprio perchè elevando al quadrato annuli il segno)
grazie per la preicsazione
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