Esercizio "informatico"

[gygabyte017]

Ciao a tutti, volevo proporvi questo esercizio che sto provando a fare ma mi sta rompendo il cervello da giorni:

Esercizio:

Sia [tex]F:\mathbb{Z}_n \to \mathbb{Z}_m[/tex] una funzione tale che [tex]F(x+y)=F(x)+F(y) \quad \forall x,y \in \mathbb{Z}_n[/tex]. Di questa funzione non si conosce l'espressione, ma si conoscono tutti i suoi valori tramite una tabella:
[tex]\begin{matrix}0 \mapsto F(0) \\ 1 \mapsto F(1) \\ \dots \\ n-1 \mapsto F(n-1) \end{matrix}[/tex].
Vengono però modificati a caso [tex]\frac15[/tex] dei valori della [tex]F[/tex] nella tabella.
Si chiede di determinare un algoritmo (che dato [tex]z \in \mathbb{Z}_n[/tex] in input, restituisce [tex]\tilde{F}(z)[/tex] in output) il più semplice e veloce possibile tale che [tex]\mathbb{P}\left\lbrace\forall z \in \mathbb{Z}_n, \; F(z)=\tilde{F}(z)\right\rbrace \ge \frac12[/tex].

Ora, io ho provato tante idee "complicate" per approcciare il problema, con conseguenti calcoli complicati che però non mi portano da nessuna parte, e mi viene da pensare che forse c'è un'idea molto semplice che non vedo...

Qualcuno vede qualche idea immediata??

Grazie mille!

[Rggb1]

Tralascio considerazioni che sarebbero da fare sulla funzione: io direi:
$F'(z)=F(0)$ per z=0
$F'(z)=F(0)+F(z-1)$ altrimenti

Senza fare calcoli, direi possa tornare che la p. di "azzeccare" il valore giusto è almeno del 50%... magari fai una verifica.