Esercizio: quadrato differenza variabili normali
Buonasera,
vi scrivo per un esercizio su cui ho qualche difficoltà:
"Calcolare la distribuzione di $ (X-Y)^2 $, con $ X ~ N(2,1) $ e $ Y ~ N(2,2) $"
EDIT: Ovviamente X e Y sono indipendenti
Ora, fino a $ Z = X - Y $ non ho avuto difficoltà ($ Z ~ N(0,3) $, sperando sia corretta!), ma ho dei dubbi sull'elevamento al quadrato: cercando sul forum ho trovato un metodo che prevede le derivate della funzione generatrice dei momenti ma è un argomento che non è stato affrontato a lezione, mi chiedevo quindi se esiste un alternativa a questo approccio.
Sapreste indicarmi una strada?
Grazie
vi scrivo per un esercizio su cui ho qualche difficoltà:
"Calcolare la distribuzione di $ (X-Y)^2 $, con $ X ~ N(2,1) $ e $ Y ~ N(2,2) $"
EDIT: Ovviamente X e Y sono indipendenti
Ora, fino a $ Z = X - Y $ non ho avuto difficoltà ($ Z ~ N(0,3) $, sperando sia corretta!), ma ho dei dubbi sull'elevamento al quadrato: cercando sul forum ho trovato un metodo che prevede le derivate della funzione generatrice dei momenti ma è un argomento che non è stato affrontato a lezione, mi chiedevo quindi se esiste un alternativa a questo approccio.
Sapreste indicarmi una strada?
Grazie
Risposte
Di strade ce ne sono diverse.
1) Utilizzo di distribuzioni note
Se X e Y sono indipendenti sì, $Z=(X-Y)~N(0;3)$ e quindi
$W=(Z/sqrt (3))^2~chi_((1))^2=Gamma (1/2;1/2 ) $
da cui subito troviamo la distribuzione richiesta
$Z^2=3W~Gamma (1/2;1/6) $
2) Utilizzando la definizione di CDF (questo lo hai fatto per forza)
Poni $W=Z^2$
$F_W (w)=P (W <=w)=P (-sqrt (w)<=Z <=sqrt (w)) =$
$=F_Z (sqrt (w))-F_Z (-sqrt (w)) $
$f_W (w)=d/(dw)F_W (w)=f_Z (sqrt (w))1/(2sqrt (w))-f_Z (-sqrt (w))(-1/(2sqrt (w)))=1/sqrt (w)f_Z (sqrt (w)) $
L'ultimo passaggio deriva dal fatto che la gaussiana $f_Z $ è funzione pari. Ora basta sostituire a $f_Z (sqrt (w)) $ la sua espressione analitica e trovi il risultato richiesto
3) Calcolando direttamente la funzione di densità di $W=Z^2$ tramite l'apposita formula (che ovviamente coincide con quella trovata nel ragionamento di cui al punto 2)
non mi pare che esistano altre strade....
1) Utilizzo di distribuzioni note
Se X e Y sono indipendenti sì, $Z=(X-Y)~N(0;3)$ e quindi
$W=(Z/sqrt (3))^2~chi_((1))^2=Gamma (1/2;1/2 ) $
da cui subito troviamo la distribuzione richiesta
$Z^2=3W~Gamma (1/2;1/6) $
2) Utilizzando la definizione di CDF (questo lo hai fatto per forza)
Poni $W=Z^2$
$F_W (w)=P (W <=w)=P (-sqrt (w)<=Z <=sqrt (w)) =$
$=F_Z (sqrt (w))-F_Z (-sqrt (w)) $
$f_W (w)=d/(dw)F_W (w)=f_Z (sqrt (w))1/(2sqrt (w))-f_Z (-sqrt (w))(-1/(2sqrt (w)))=1/sqrt (w)f_Z (sqrt (w)) $
L'ultimo passaggio deriva dal fatto che la gaussiana $f_Z $ è funzione pari. Ora basta sostituire a $f_Z (sqrt (w)) $ la sua espressione analitica e trovi il risultato richiesto
3) Calcolando direttamente la funzione di densità di $W=Z^2$ tramite l'apposita formula (che ovviamente coincide con quella trovata nel ragionamento di cui al punto 2)
non mi pare che esistano altre strade....
Grazie tommik, sei stato più che esauriente. Mi permetto di fare un piccolo riepilogo:
1) Dopo aver normalizzato mi riconduco alla distribuzione Chi quadrato con un gdl, ovvero una gamma.
Questo però vale solo in questo caso specifico in cui devo elevare una variabile normale
2) Calcolo la densità una volta impostata la funzione di ripartizione, dove $ f_z(sqrt(w)) $ è la densità della normale in funzione di $ sqrt(w) $.
Quest'ultimo metodo mi sembra più generale e non vincolato alla sola distribuzione normale.
1) Dopo aver normalizzato mi riconduco alla distribuzione Chi quadrato con un gdl, ovvero una gamma.
Questo però vale solo in questo caso specifico in cui devo elevare una variabile normale
2) Calcolo la densità una volta impostata la funzione di ripartizione, dove $ f_z(sqrt(w)) $ è la densità della normale in funzione di $ sqrt(w) $.
Quest'ultimo metodo mi sembra più generale e non vincolato alla sola distribuzione normale.
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