[Esercizio] Processo gaussiano bianco
Ciao a tutti! Vorrei sapere se questo esercizio l'ho impostato bene e se si poteva fare in un modo alternativo più semplice
Determinare la funzione di densità di probabilità congiunta delle variabili aleatorie Z(T) e W(T) (T fissato), dove:
\(\displaystyle Z(t) = X(t) * rect((t - T/2)/(T) ) \)
\(\displaystyle W(t) = X(t) * [ rect((t - T/4) / (T/2)) - rect((t - 3T/4) / (T/2)) ] \)
Si ricorda che X(t) è un processo gaussiano con densità spettrale A/2
---------
Allora il processo in ingresso è gaussiano, quindi l'uscita è ancora un processo gaussiano. Inoltre se prendo una variabile aleatoria da un processo gaussiano in un qualsiasi istante ottengo sempre una variabile aleatoria gaussiana. Quindi la funzione di densità congiunta è ancora gaussiana che dipende dal vettore delle medie e dalla matrice di covarianza.
Per trovare le due medie, so che il processo in ingresso è stazionario sia in senso stretto che in senso lato (perchè gaussiano bianco), quindi la funzione media non dipende dal tempo ed è costantemente uguale a zero per entrambe (l'ingresso ha media nulla).
Adesso per trovare la matrice di covarianza, devo trovare le due varianze e la correlazione tra le due variabili aleatorie.
Dato che le medie sono nulle, allora le rispettive varianze sono le rispettive potenze (valor quadratico medio). Per trovarle si può calcolare l'autocorrelazione di ogni singolo processo e valutarlo nell'origine. (P.s.: indico con E[] la media)
Ad esempio per Z(T): \(\displaystyle E[Z^2] = Rx(0) = Rx(\tau) * Rh(\tau) ,( \tau = 0 ) = A/2 Rh(\tau), (\tau = 0) \)
Non so se ci siano altri modi per il calcolo della varianza, se ce ne sono ditemelo!
Per quanto riguarda la covarianza, possiamo vedere che coincide con l'autocorrelazione, dato che le medie sono nulle.
Adesso applico la definizione, saltando un pò di passaggi mi trovo così:
\(\displaystyle E[Z(T)W(T)] = A/2 \int \int_\infty h_1(\alpha) h_2(\beta) \delta(\beta - \alpha) d\alpha d\beta = \int_\infty h_1(\alpha) h_2(\alpha) d\alpha \)
Che ne dite?? Il ragionamento dovrebbe filare ed anche i calcoli matematici, però mi sa che forse c'è qualche modo per evitare di calcolare l'autocorrelazione dei sistemi LTI e sopratutto, se c'è un modo diverso per calcolare la covarianza: per esempio, posso dire che le variabili sono indipendenti (quindi incorrelate) e quindi la covarianza è nulla?
Datemi delucidazioni, please!
Determinare la funzione di densità di probabilità congiunta delle variabili aleatorie Z(T) e W(T) (T fissato), dove:
\(\displaystyle Z(t) = X(t) * rect((t - T/2)/(T) ) \)
\(\displaystyle W(t) = X(t) * [ rect((t - T/4) / (T/2)) - rect((t - 3T/4) / (T/2)) ] \)
Si ricorda che X(t) è un processo gaussiano con densità spettrale A/2
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Allora il processo in ingresso è gaussiano, quindi l'uscita è ancora un processo gaussiano. Inoltre se prendo una variabile aleatoria da un processo gaussiano in un qualsiasi istante ottengo sempre una variabile aleatoria gaussiana. Quindi la funzione di densità congiunta è ancora gaussiana che dipende dal vettore delle medie e dalla matrice di covarianza.
Per trovare le due medie, so che il processo in ingresso è stazionario sia in senso stretto che in senso lato (perchè gaussiano bianco), quindi la funzione media non dipende dal tempo ed è costantemente uguale a zero per entrambe (l'ingresso ha media nulla).
Adesso per trovare la matrice di covarianza, devo trovare le due varianze e la correlazione tra le due variabili aleatorie.
Dato che le medie sono nulle, allora le rispettive varianze sono le rispettive potenze (valor quadratico medio). Per trovarle si può calcolare l'autocorrelazione di ogni singolo processo e valutarlo nell'origine. (P.s.: indico con E[] la media)
Ad esempio per Z(T): \(\displaystyle E[Z^2] = Rx(0) = Rx(\tau) * Rh(\tau) ,( \tau = 0 ) = A/2 Rh(\tau), (\tau = 0) \)
Non so se ci siano altri modi per il calcolo della varianza, se ce ne sono ditemelo!
Per quanto riguarda la covarianza, possiamo vedere che coincide con l'autocorrelazione, dato che le medie sono nulle.
Adesso applico la definizione, saltando un pò di passaggi mi trovo così:
\(\displaystyle E[Z(T)W(T)] = A/2 \int \int_\infty h_1(\alpha) h_2(\beta) \delta(\beta - \alpha) d\alpha d\beta = \int_\infty h_1(\alpha) h_2(\alpha) d\alpha \)
Che ne dite?? Il ragionamento dovrebbe filare ed anche i calcoli matematici, però mi sa che forse c'è qualche modo per evitare di calcolare l'autocorrelazione dei sistemi LTI e sopratutto, se c'è un modo diverso per calcolare la covarianza: per esempio, posso dire che le variabili sono indipendenti (quindi incorrelate) e quindi la covarianza è nulla?
Datemi delucidazioni, please!
Risposte
Da quello che scrive il testo devi trovare la disctribuzione di $(Z(T),W(T))=(aX(T) ,bX(T))$. Dunque sapendo che $X(T)$ e' normale, conosci la distribuzione del vettore.
Sinceramente non ho capito bene il tuo suggerimento. Prima vorrei precisare che non sono pratico con i simboli latex (e si vede): il simbolo * sta ad indicare una convoluzione, NON UN PRODOTTO!
Infatti mi sembrava un po strano...in questo caso bisognerebbe sapere qualche risultato relativo a questi processi e alla loro convoluzione che non conosco. Lascio un aiuto a qualcuno piu' informato di me.
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