Esercizio Proc Stocastico (Dadi)?
Si consideri il seguente gioco: ad ogni turno si lancia una coppia di dadi equi, se
il risultato è $ >= $ 10 il giocatore vince $x $, altrimenti perde $y$. Indicando con $X_n$
la vincita o la perdita al turno n, il capitale del giocatore è $S_n = X_1+X_2+...+X_n$.
(a) Supponendo che il giocatore è disposto a perdere $y = 1$e ad ogni turno,
determinare $x$ affinchè $S_n$ sia una martingala.
(b) Assumendo un capitale iniziale di $10$ e, calcolare la probabilità di perdere
tutto nei primi 10 turni.
(punto a)Allora mi sono costrutio una v.c. V=somma del punteggio dei 2 dadi.
$ P(V>=10)=1/6 $ quindi $ P(V<10)=5/6 $
Adesso, affinchè $ S_n $ sia una martingala il val.atteso di ogni v.c dev'essere costante quindi io ho fatto così.
$ E(X)=1/6(x)+5/6(-1)=0; $ ,
$ x=5 $ ,
$ E(X)=0 $ per ogni variabile casuale.
Adesso questo punto è elementare, volevo sapere però se dal punto di vista formale sto sbagliando qualcosa. è giusto procedere così come ho fatto io? Ad esempio questa non è una vc Bernoulli perchè assume valori che sono diversi da [0,1], ma dicotomica perchè x assume valore [-1,5]?
(punto b)
qua non so se ho fatto giusto o meno:
riparto sempre da $ P(V>=10)=1/6 $ quindi $ P(V<10)=5/6 $
Adesso che io perda il capitale di 10 succederebbe soltanto se mi capitasse per 10 volte di fila $ V<10 $ .
Ho usato una Binomiale
$ P(S_10=0)=( (10), (10) )*(5/6)^10*(1/6)^(10-10) =0.0269 $
ciò di cui mi viene il dubbio è di non aver tenuto in considerazione il payoff (5) nel caso vincessi, però basterebbe anche una volta in cui "non perdo", per far si che non perda tutto il capitale nei primi 10 turni, per cui non l'ho tenuto in considerazione.
Oltre a sperare di aver fatto i punti giusti, ciò che mi interessa è proprio la CORRETTEZZA FORMALE (purtroppo ho un prof. attento ai minimi dettagli)
Qualsiasi consiglio è ben accetto, grazie in anticipo
il risultato è $ >= $ 10 il giocatore vince $x $, altrimenti perde $y$. Indicando con $X_n$
la vincita o la perdita al turno n, il capitale del giocatore è $S_n = X_1+X_2+...+X_n$.
(a) Supponendo che il giocatore è disposto a perdere $y = 1$e ad ogni turno,
determinare $x$ affinchè $S_n$ sia una martingala.
(b) Assumendo un capitale iniziale di $10$ e, calcolare la probabilità di perdere
tutto nei primi 10 turni.
(punto a)Allora mi sono costrutio una v.c. V=somma del punteggio dei 2 dadi.
$ P(V>=10)=1/6 $ quindi $ P(V<10)=5/6 $
Adesso, affinchè $ S_n $ sia una martingala il val.atteso di ogni v.c dev'essere costante quindi io ho fatto così.
$ E(X)=1/6(x)+5/6(-1)=0; $ ,
$ x=5 $ ,
$ E(X)=0 $ per ogni variabile casuale.
Adesso questo punto è elementare, volevo sapere però se dal punto di vista formale sto sbagliando qualcosa. è giusto procedere così come ho fatto io? Ad esempio questa non è una vc Bernoulli perchè assume valori che sono diversi da [0,1], ma dicotomica perchè x assume valore [-1,5]?
(punto b)
qua non so se ho fatto giusto o meno:
riparto sempre da $ P(V>=10)=1/6 $ quindi $ P(V<10)=5/6 $
Adesso che io perda il capitale di 10 succederebbe soltanto se mi capitasse per 10 volte di fila $ V<10 $ .
Ho usato una Binomiale
$ P(S_10=0)=( (10), (10) )*(5/6)^10*(1/6)^(10-10) =0.0269 $
ciò di cui mi viene il dubbio è di non aver tenuto in considerazione il payoff (5) nel caso vincessi, però basterebbe anche una volta in cui "non perdo", per far si che non perda tutto il capitale nei primi 10 turni, per cui non l'ho tenuto in considerazione.
Oltre a sperare di aver fatto i punti giusti, ciò che mi interessa è proprio la CORRETTEZZA FORMALE (purtroppo ho un prof. attento ai minimi dettagli)
Qualsiasi consiglio è ben accetto, grazie in anticipo
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