Esercizio prob.discreta

[shadow881]

Buongiorno
guardando vecchie tracce dei compiti passati mi sono imbattuto in questo esercizio

Un gruppo ha 22 uomini e 18 donne, 10 degli uomini e 8 delle donne parlano
cinese.
Una delegazione di 5 persone da mandare a Pechino viene scelta a caso da questo
gruppo di 40 persone.
(a) Calcolare la probabilità che nessuna persona della delegazione parli cinese.
(b) Sapendo che nella delegazione nessuno parla cinese, qual'e la probabilità
che sia costituita da soli uomini.
(c) Sapendo che nella delegazione ci sono tutti uomini che non parlano cinese,
si decide di aggiungere (a caso) altre due persone dal resto del gruppo
originale. Qual'è la probabilità di avere almeno una donna ed almeno una
persona che parla cinese nella nuova delegazione di 7 persone?

per prima cosa ho definito gli eventi
$U$--> venga selezionato uomo
$C$--> individuo parli cinese
etc


Punto a)
Probabilità tot

$P(D)=8/40$ , $P(U)=22/40$ $P(C|D)=8/18$ $P(C|U)=10/22$
quindi

$P(C)=P(C|U)P(U)+P(C|D)P(D)~~0.41$


Indicando con $X$ la v.a che conta il numero di persone che parli cinese nel gruppo di 40 persone, posso affermare che
$X~BIN(40,0.41)$

quello che mi chiede il testo è
$P(X=0)$ con $n=5$(la sottopopolazione formata dal gruppo delegato)
$p(X=0)=0.59^5~~0.07$

punto b)

Bayes

$P(U|X=0)=P(X=0|U)P(U)/P(X=0)$

punto c)

qui cambiano le probabilità

quindi definendo gli eventi come seguono t.c non vengano confusi con i precedenti

$P(CINESE|MAN)=10/17$
$P(CINESE|WOMAN)=8/18$
$P(CINESE)=P(CINESE|MAN)P(MAN)+P(CINESE|WOMAN)P(WOMAN)=alpha$

indico anche qui $Y$ v.a che conta numero persone parla cinese

$Y~B(35,alpha)$ devo trovare $P(Y>=1)=1-P(Y=0)$ qui come prima calcolo la binomiale
ma mi viene chiesto anche che ci sia almeno una donna

quindi

$P(WOMAN uu Y>=1)=P(WOMAN)+P(Y>=1)-P(WOMAN,Y>=1)$ perchè sono compatibili

questo è quello che sono riuscito a fare...non so perchè ma ho la sensazione che ci sia qualcosa che non va

[Lo_zio_Tom]

boh... non so come riusciate a complicarvi la vita per nulla, tra l'altro arrivando a conclusioni errate

Evidentemente si tratta di una estrazione senza reimmissione, quindi la binomiale non c'entra proprio nulla. Occorre usare la ipergeometrica

a) l'urna iniziale è costituita da 40 soggetti di cui 22 non parlano cinese.

quindi la probabilità richiesta, che nussuno parli cinese, è $(((22),(5)))/(((40),(5)))=4%$

b) sapendo che nessuno parla cinese, l'urna ora è composta da 22 soggetti, di cui 12 uomini.

Quindi, analogamente a prima, $(((12),(5)))/(((22),(5)))=3%$

penso che con un piccolo sforzo tu possa risolvere in autonomia anche l'ultimo punto.

[shadow881]

la nuova urna è composta da 40 soggetti,le estrazioni sono 7,ma 5 sappiamo gia che finiscono nei 12 soggetti uomini che non parlano cinese

quindi

$[((12),(5))((10),(0))((10),(0))((8),(2))]/(((40),(7)))+[((12),(5))((10),(0))((10),(1))((8),(1))]/(((40),(7)))+[((12),(5))((10),(1))((10),(1))((8),(0))]/(((40),(7))) +[((12),(5))((10),(0))((10),(1))((8),(1))]/(((40),(7))) $

[shadow881]

"tommik":no

stavo modificando con tutte quelle sottopopolazioni ho il cervello fuso

[Lo_zio_Tom]

c)

senza farsi troppe pippe, dopo la scelta della delegazione dei 5 rappresentanti (tutti maschi e nessuno che parla cinese), l'insieme tra cui scegliere le 2 persone aggiuntive è composto da 35 soggetti, con 17 uomini di cui 7 non parlano cinese. Le donne sono le stesse di prima

devo scegliere 2 persone fra queste 35 in modo che vi sia almeno una donna E almeno una persona che parla cinese.

Quindi devo scartare le seguenti scelte

1) due uomini (non avrei donne tra i 7 rappresentanti)

2) due donne che non parlano cinese (non avrei nessuno che parla cinese)

3) un uomo ed una donna, entrambi che non parlano cinese (idem, anche qui non avrei nessuno che parla cinese).

Dunque, semplicemente

$1-(((17),(2))+((10),(2))+((7),(1))((10),(1)))/(((35),(2)))=344/595~~57.82%$

... a me pare che il ragionamento fili

[shadow881]

Ora anche a me. Ammetto che sono un pò demoralizzato, a volte sembra che navighi in alto mare.
Potrei chiederti nel mio primo ragionamento cosa ci fosse di sbagliato? è vero che la strada era molto più disastrata ma mi piacerebbe capire perchè non andava.

Poi nella mia proposta di soluzione del punto c dopo il tuo stimolo


Io ho continuato a considerare l'intera popolazione quindi $40$ dove le $n=7$,di queste $5$ le dedico agli uomini che non sanno parlare cinese quindi le altre 2 persone le devo distribuire negli altri sottoinsieme che sono $8$ donne che parlano cinese $10$ donne che non parlano cinese $12$ uomini che parlano cinese e non ho considerato i restanti uomini che non parlano cinese perchè lui mi da la certezza che ce ne sono solo $5$.Quindi ho considerato tutte le possibilità comunque rispettando che ci sia almeno una DONNA e un individui che parli cinese

Bo ero quasi convinto che potesse funzionare.

[Lo_zio_Tom]

eri totalmente fuori strada, non c'è verso. Il campionamento è senza reimmissione, occorre usare l'ipergeometrica.

a) e b) erano davvero immediati

c) si dice chiaramente che si scelgono 2 persone fra le 35 rimaste..."dal resto del gruppo originale"

quindi è rimasta un'urna di 35 persone con

17 uomini, di cui 10 parlano cinese e 7 no
18 donne, di cui 8 parlano cinese e 10 no

probabilmente devi fare più esercizi, magari la teoria è stata studiata (sicuramente studiata) ma un po' frettolosamente...magari sei solo stanco, non devi esagerare...

Essendo un tema d'esame probabilmente bastava fare a) e b), il c) magari era per capire chi meritasse un voto più alto

[shadow881]

Non smetterò mai di ringraziarti comunque vada. Devo esercitarmi di più sicuramente.