Esercizio probablità composta
Salve a tutti, ho un problema riguardante il seguente esercizio:
Esercizio: Una scatola di 6 componenti elettrici in cui sono mescolati componenti buoni e componenti di scarto in percentuale incognita. Sia E="Il numero dei componenti di scarto è $1/5$ di quelli buoni", con $P(E)=p!=1$.
Si effettuano due estrazioni con restituzione e sia H="un componente è buono e l'altro è difettoso".
Calcolare $P(E|Hc)$ (dove per "c" si intende l'evento contrario).
Allora per ora ho ragionato così:
$P(E):$
Componenti di scarto$=1/5$ Componenti buoni
Componenti buoni$=5$ , Componenti di scarto$=1$
$P(E)=1/7$; $P(Ec)=1-1/7=6/7$
Infatti ci sono in totale 7 possibili combinazioni della scatola, di cui solo una verifica l'evento $E$.
$P(H):$
$H=Hcap Ω=(H cap E) cup (H cap Ec)$ $=>$ $P(HcupE)capP(HcupEc)$
Divido poi gli eventi interni ad $H$ cioè $H=$ $=>A=$pesco componente buono $=>B=$pensco componente di scarto
Quindi calcolo:
$P(AcapE)+P(AcapEc)$
$P(AcapE)=1/6*1/7$ (riassumo, senza scrivere i passaggi del T.P.C.)
$P(AcapEc)=P(A|Ec)*P(Ec)$
Ora, $P(Ec)=6/7$
$P(A|Ec)$???
Cioè non capisco come calcolare l'evento $P(A|Ec)$
Sapreste darmi una mano, cioè quello che non capisco è la probabilità di pescare un elemento buono supposto che l'urna non abbia 1/5 di elementi buoni, quindi qualsiasi altra combinazione...
Grazie a tutti e scusate la lunghezza del post!
Esercizio: Una scatola di 6 componenti elettrici in cui sono mescolati componenti buoni e componenti di scarto in percentuale incognita. Sia E="Il numero dei componenti di scarto è $1/5$ di quelli buoni", con $P(E)=p!=1$.
Si effettuano due estrazioni con restituzione e sia H="un componente è buono e l'altro è difettoso".
Calcolare $P(E|Hc)$ (dove per "c" si intende l'evento contrario).
Allora per ora ho ragionato così:
$P(E):$
Componenti di scarto$=1/5$ Componenti buoni
Componenti buoni$=5$ , Componenti di scarto$=1$
$P(E)=1/7$; $P(Ec)=1-1/7=6/7$
Infatti ci sono in totale 7 possibili combinazioni della scatola, di cui solo una verifica l'evento $E$.
$P(H):$
$H=Hcap Ω=(H cap E) cup (H cap Ec)$ $=>$ $P(HcupE)capP(HcupEc)$
Divido poi gli eventi interni ad $H$ cioè $H=$ $=>A=$pesco componente buono $=>B=$pensco componente di scarto
Quindi calcolo:
$P(AcapE)+P(AcapEc)$
$P(AcapE)=1/6*1/7$ (riassumo, senza scrivere i passaggi del T.P.C.)
$P(AcapEc)=P(A|Ec)*P(Ec)$
Ora, $P(Ec)=6/7$
$P(A|Ec)$???
Cioè non capisco come calcolare l'evento $P(A|Ec)$
Sapreste darmi una mano, cioè quello che non capisco è la probabilità di pescare un elemento buono supposto che l'urna non abbia 1/5 di elementi buoni, quindi qualsiasi altra combinazione...
Grazie a tutti e scusate la lunghezza del post!
Risposte
Up!
Non c'è nessuno che sa darmi una mano? Ancora non sono riuscito a risolverlo...
Grazie ancora.
Non c'è nessuno che sa darmi una mano? Ancora non sono riuscito a risolverlo...
Grazie ancora.
Il testo dell'esercizio é tutto lí? Mi sembra che manchino delle informazioni necessarie per calcolare $P(H_c| E_c)$.
Il procedimento che ho svolto io é stato utilizzare la formula di Bayes:
$$ P(E | H_c) = \frac{P(H_c | E)P(E)}{P(H_c)} = \frac{P(H_c | E)P(E)}{P(H_c | E)P(E) + P(H_c | E_c)P(E_c) }$$
Sappiamo quanto valgono $P(E)$ e $P(E_c)$ (rispettivamente $p$ e $1-p$). Calcolare $P(H_c | E)$ é abbastanza facile perché noto $E$ possiamo riscrivere
$$ P(H_c | E) = P(X = 0) + P(X = 2) $$ dove $X$ é distribuito come Binom$(2, \frac{5}{6})$.
A questo punto io ragionerei sul valore di $P(H_c | E_c)$, ovvero la probabilitá di pescare due scarti oppure due pezzi buoni, sapendo che i 6 pezzi dell'urna NON sono 5 buoni e 1 difettoso.
Il procedimento che ho svolto io é stato utilizzare la formula di Bayes:
$$ P(E | H_c) = \frac{P(H_c | E)P(E)}{P(H_c)} = \frac{P(H_c | E)P(E)}{P(H_c | E)P(E) + P(H_c | E_c)P(E_c) }$$
Sappiamo quanto valgono $P(E)$ e $P(E_c)$ (rispettivamente $p$ e $1-p$). Calcolare $P(H_c | E)$ é abbastanza facile perché noto $E$ possiamo riscrivere
$$ P(H_c | E) = P(X = 0) + P(X = 2) $$ dove $X$ é distribuito come Binom$(2, \frac{5}{6})$.
A questo punto io ragionerei sul valore di $P(H_c | E_c)$, ovvero la probabilitá di pescare due scarti oppure due pezzi buoni, sapendo che i 6 pezzi dell'urna NON sono 5 buoni e 1 difettoso.
Ciao, ti ringrazio della risposta.
Si, il testo è completo così come l'ho scritto...
Comunque non ho capito quando hai scritto:
\[ P(H_c | E) = P(X = 0) + P(X = 2) \]
Nel senso, perche $P(X=0)$ e $P(X=2)$?
Comunque alla fine infatti il problema rimane sempre nel calcolo di $P(H|Ec)$, che è proprio il problema che ho io (solo che io ho diviso H in altri due eventi distinti, per poi moltiplicarli alla fine del calcolo. Ho pensato che due estrazioni con reimbussolamento sono eventi indipendenti, e quindi è come tirare una moneta e calcolare la probabilità di una croce e poi di una testa $= 1/2*1/2$ ).
Si, il testo è completo così come l'ho scritto...
Comunque non ho capito quando hai scritto:
\[ P(H_c | E) = P(X = 0) + P(X = 2) \]
Nel senso, perche $P(X=0)$ e $P(X=2)$?
Comunque alla fine infatti il problema rimane sempre nel calcolo di $P(H|Ec)$, che è proprio il problema che ho io (solo che io ho diviso H in altri due eventi distinti, per poi moltiplicarli alla fine del calcolo. Ho pensato che due estrazioni con reimbussolamento sono eventi indipendenti, e quindi è come tirare una moneta e calcolare la probabilità di una croce e poi di una testa $= 1/2*1/2$ ).
Nel senso che l'evento complementare a $H:$"un pezzo é buono e l'altro difettoso" é $H_c:$ "i pezzi sono entrambi buoni o entrambi difettosi", da qui la probabilitá dell'unione di questi due eventi indipendenti diventa la somma delle probabilitá.
Per quanto riguarda l'altra probabilitá condizionata io avevo pensato di dividere l'evento $E_c$ in tutti i suoi possibili casi, ovvero quando la proporzione di componenti é $6:0, 4:2, 3:3, 2:4, 1:5, 0:6$ (togliendo il caso $5:1$ perché appartiene ad $E$). Cosí facendo possiamo calcolare la probabilitá come somma totale delle probabilitá condizionate, a patto che ipotizziamo una distribuzione per queste 6 configurazioni dell'urna.. non avendo informazioni io ho assunto una distribuzione uniforme, ovvero ogni configurazione é equiprobabile e si presenta con una probabilitá di un sesto.
In formule:
$$ P(H_c | E_c) = \sum_{i = 1}^{6} P(H_c | E_{c_{i}})P(E_{c_{i}}) $$ con (assunto da me) $ P(E_{c_{i}}) = \frac{1}{6} $.
Per quanto riguarda l'altra probabilitá condizionata io avevo pensato di dividere l'evento $E_c$ in tutti i suoi possibili casi, ovvero quando la proporzione di componenti é $6:0, 4:2, 3:3, 2:4, 1:5, 0:6$ (togliendo il caso $5:1$ perché appartiene ad $E$). Cosí facendo possiamo calcolare la probabilitá come somma totale delle probabilitá condizionate, a patto che ipotizziamo una distribuzione per queste 6 configurazioni dell'urna.. non avendo informazioni io ho assunto una distribuzione uniforme, ovvero ogni configurazione é equiprobabile e si presenta con una probabilitá di un sesto.
In formule:
$$ P(H_c | E_c) = \sum_{i = 1}^{6} P(H_c | E_{c_{i}})P(E_{c_{i}}) $$ con (assunto da me) $ P(E_{c_{i}}) = \frac{1}{6} $.
Si ora ho capito che intendevi.
Credo che la distribuzione sia uniforme (non so perché non è stato specificato nel testo...)
Comunque ti ringrazio, ora è più chiaro!
Credo che la distribuzione sia uniforme (non so perché non è stato specificato nel testo...)
Comunque ti ringrazio, ora è più chiaro!
Premetto che capisco poco di formule...
Però, in soldoni io ho fatto così (ammesso che io abbia capito correttamente quanto richiesto...)
Nelle sei configurazioni ammesse ho un totale di 36 elementi, di cui 16 "buoni" e 20 "non buoni".
Da cui la probabilità di pescare un elemento buono è $16/36=4/9$
Però, in soldoni io ho fatto così (ammesso che io abbia capito correttamente quanto richiesto...)
Nelle sei configurazioni ammesse ho un totale di 36 elementi, di cui 16 "buoni" e 20 "non buoni".
Da cui la probabilità di pescare un elemento buono è $16/36=4/9$
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