Esercizio probabilità su HIV (probabilità condizionata)
Mi stavo chiedendo se la mia soluzione per il seguente esercizio fosse corretta
Quando eseguiamo un esame clinico per accertare la presenza di una certa patologia, il test può risultare positivo (abbiamo la patologia) oppure negativo. L’esame può commettere errore, ad esempio, il test può risultare positivo ma noi non abbiamo la patologia (si parla di falso positivo). La probabilità che il test sia negativo e noi non abbiamo la patologia è chiamata specificità, mentre, la probabilitlà che il test sia positivo quando effettivamente abbiamo la patologia è chiamata sensibilità. Infine la probabilità di avere una certa patologia è chiamata prevalenza. Vi siete sottoposti at test per accertare la presenza di HIV. Nella popolazione la prevalenza di HIV è di 6.1 casi su 1e+05. Il test ELISA ha una sensibilità pari a 0.999, mentre i falsi positivi sono pari a 7e−04%.
(b) Calcolare la probabilità che il test risulti positivo. (c) Calcolare la probabilità che siccome il test è positivo voi abbiate realmente l’HIV. (d) La probabilità che una persona con l’HIV sia un maschio è 0.976, mentre la probabilità che una persona che non ha l’HIV sia un maschio è 0.5. Inoltre la specificità e la sensibilità del test non dipende dal genere della persona. Alla luce di questa informazione, ricalcolate la probabilità che, dato che il test è positivo, voi abbiate realmente l’HIV.
(b) Abbiamo i seguenti dati Pr(H) = 6.1e−05; Pr(T|H) = 0.999; Pr(T|Hc) = 7e−06; allora usando il teorema delle probabilità totali abbiamo Pr(T) = Pr(T|H)Pr(H) + Pr(T|Hc)Pr(Hc) = 0.999 6.1e−05 + 7e−06 (1−6.1e−05) = 6.7938573e−05
(c) Usando il teorema di Bayes abbiamo
Pr(H|T) =Pr(T|H)Pr(H) Pr(T|H)Pr(H) + Pr(T|Hc)Pr(Hc)=0.999 6.1e−05 0.999 6.1e−05 + 7e−06 (1−6.1e−05)=6.0939e−05 6.7938573e−05 = 0.89697
(d) Visto che la sensibilità non dipende dal genere allora abbiamo Pr(T|H,M) = Pr(T|H) e cos`ı per gli altri eventi di questo tipo. Inoltre Pr(T,M|H) =Pr(T,M,H) Pr(H) = Pr(T|H,M) Pr(H,M) Pr(H) = Pr(T|H,M)Pr(M|H) = Pr(T|H)Pr(M|H)Nella stessa maniera abbiamo Pr(T,M|Hc) = Pr(T|Hc)Pr(M|Hc)
Per cui, per il teorema di Bayes abbiamo
Pr(H|T,M) =Pr(H,T,M) Pr(T,M)=Pr(T,M|H)Pr(H) Pr(T,M|H)Pr(H) + Pr(T,M|Hc)Pr(Hc)=Pr(T|H)Pr(M|H)Pr(H) Pr(T|H)Pr(M|H)Pr(H) + Pr(T|Hc)Pr(M|Hc)Pr(Hc)=0.999 0.976 6.1e−05 0.999 0.976 6.1e−05 + 7e−06 0.5 (1−6.1e−05) = 0.94443
Nel caso di una femmina si ha invece
Pr(H|T,F) =Pr(H,T,F) Pr(T,F)=Pr(T,F|H)Pr(H) Pr(T,F|H)Pr(H) + Pr(T,F|Hc)Pr(Hc)=Pr(T|H)Pr(F|H)Pr(H) Pr(T|H)Pr(F|H)Pr(H) + Pr(T|Hc)Pr(F|Hc)Pr(Hc)=0.999 0.024 6.1e−05 0.999 0.024 6.1e−05 + 7e−06 0.5 (1−6.1e−05) = 0.29473
Quando eseguiamo un esame clinico per accertare la presenza di una certa patologia, il test può risultare positivo (abbiamo la patologia) oppure negativo. L’esame può commettere errore, ad esempio, il test può risultare positivo ma noi non abbiamo la patologia (si parla di falso positivo). La probabilità che il test sia negativo e noi non abbiamo la patologia è chiamata specificità, mentre, la probabilitlà che il test sia positivo quando effettivamente abbiamo la patologia è chiamata sensibilità. Infine la probabilità di avere una certa patologia è chiamata prevalenza. Vi siete sottoposti at test per accertare la presenza di HIV. Nella popolazione la prevalenza di HIV è di 6.1 casi su 1e+05. Il test ELISA ha una sensibilità pari a 0.999, mentre i falsi positivi sono pari a 7e−04%.
(b) Calcolare la probabilità che il test risulti positivo. (c) Calcolare la probabilità che siccome il test è positivo voi abbiate realmente l’HIV. (d) La probabilità che una persona con l’HIV sia un maschio è 0.976, mentre la probabilità che una persona che non ha l’HIV sia un maschio è 0.5. Inoltre la specificità e la sensibilità del test non dipende dal genere della persona. Alla luce di questa informazione, ricalcolate la probabilità che, dato che il test è positivo, voi abbiate realmente l’HIV.
(b) Abbiamo i seguenti dati Pr(H) = 6.1e−05; Pr(T|H) = 0.999; Pr(T|Hc) = 7e−06; allora usando il teorema delle probabilità totali abbiamo Pr(T) = Pr(T|H)Pr(H) + Pr(T|Hc)Pr(Hc) = 0.999 6.1e−05 + 7e−06 (1−6.1e−05) = 6.7938573e−05
(c) Usando il teorema di Bayes abbiamo
Pr(H|T) =Pr(T|H)Pr(H) Pr(T|H)Pr(H) + Pr(T|Hc)Pr(Hc)=0.999 6.1e−05 0.999 6.1e−05 + 7e−06 (1−6.1e−05)=6.0939e−05 6.7938573e−05 = 0.89697
(d) Visto che la sensibilità non dipende dal genere allora abbiamo Pr(T|H,M) = Pr(T|H) e cos`ı per gli altri eventi di questo tipo. Inoltre Pr(T,M|H) =Pr(T,M,H) Pr(H) = Pr(T|H,M) Pr(H,M) Pr(H) = Pr(T|H,M)Pr(M|H) = Pr(T|H)Pr(M|H)Nella stessa maniera abbiamo Pr(T,M|Hc) = Pr(T|Hc)Pr(M|Hc)
Per cui, per il teorema di Bayes abbiamo
Pr(H|T,M) =Pr(H,T,M) Pr(T,M)=Pr(T,M|H)Pr(H) Pr(T,M|H)Pr(H) + Pr(T,M|Hc)Pr(Hc)=Pr(T|H)Pr(M|H)Pr(H) Pr(T|H)Pr(M|H)Pr(H) + Pr(T|Hc)Pr(M|Hc)Pr(Hc)=0.999 0.976 6.1e−05 0.999 0.976 6.1e−05 + 7e−06 0.5 (1−6.1e−05) = 0.94443
Nel caso di una femmina si ha invece
Pr(H|T,F) =Pr(H,T,F) Pr(T,F)=Pr(T,F|H)Pr(H) Pr(T,F|H)Pr(H) + Pr(T,F|Hc)Pr(Hc)=Pr(T|H)Pr(F|H)Pr(H) Pr(T|H)Pr(F|H)Pr(H) + Pr(T|Hc)Pr(F|Hc)Pr(Hc)=0.999 0.024 6.1e−05 0.999 0.024 6.1e−05 + 7e−06 0.5 (1−6.1e−05) = 0.29473
Risposte
Buongiorno. Scusate se riprendo questo vecchio topic ma volevo chiedere gentilmente un chiarimento circa la soluzione proposta da MrAlg.
Il testo purtroppo non è di facile comprensione e non riesco capire da dove salta fuori $\Pr(T|Hc) = 7e−06 $
Ho visto che nel testo viene riportato "mentre i falsi positivi sono pari a $\7e−04%$ ". Il 7 in questo dato, a cosa è riferito? Viene calcolato il 4% di 7 giusto? Ma da cosa è dato questo 7?
Vi ringrazio
Il testo purtroppo non è di facile comprensione e non riesco capire da dove salta fuori $\Pr(T|Hc) = 7e−06 $
Ho visto che nel testo viene riportato "mentre i falsi positivi sono pari a $\7e−04%$ ". Il 7 in questo dato, a cosa è riferito? Viene calcolato il 4% di 7 giusto? Ma da cosa è dato questo 7?
Vi ringrazio
E' un dato. $7e-4=7*10^(-4)$
L'esericzio in questione, maneggiato e rimaneggiato in varie salse, è stato proposto molte volte sul forum.
Se mi posso permettere, Qui c'è una versione "mia" più completa e tutta commentata con le formule scritte in modo leggibile; in questo esempio del link ho considerato anche lo stesso problema con più test e come il VPP (Valore Predittivo Positivo) cambi a seconda della prevalenza della malattia nella popolazione e del numero di test positivi)
[ot]Ricordo anche che il problema in questione fu molto dibattuto in letteratura nei primi anni '90 quando si paventava l'ipotesi di un test di massa per lo screening dell'HIV. Alla fine, fortunatamente, si capì che lo screening di massa sarebbe stato una sciocchezza: in quel periodo i suicidi da HIV positivi erano molto meno di quelli derivanti da PAIDS (panico da AIDS), la maggior parte delle volte, ingiustificato. In quel periodo io ero un laureando e collaborai ad un articolo scientifico in proposito....[/ot]
Capire le formule scritte dall'OP è davvero disastroso (se non erro l'avevo anche controllato e risultava comunque corretto....)
L'esericzio in questione, maneggiato e rimaneggiato in varie salse, è stato proposto molte volte sul forum.
Se mi posso permettere, Qui c'è una versione "mia" più completa e tutta commentata con le formule scritte in modo leggibile; in questo esempio del link ho considerato anche lo stesso problema con più test e come il VPP (Valore Predittivo Positivo) cambi a seconda della prevalenza della malattia nella popolazione e del numero di test positivi)
[ot]Ricordo anche che il problema in questione fu molto dibattuto in letteratura nei primi anni '90 quando si paventava l'ipotesi di un test di massa per lo screening dell'HIV. Alla fine, fortunatamente, si capì che lo screening di massa sarebbe stato una sciocchezza: in quel periodo i suicidi da HIV positivi erano molto meno di quelli derivanti da PAIDS (panico da AIDS), la maggior parte delle volte, ingiustificato. In quel periodo io ero un laureando e collaborai ad un articolo scientifico in proposito....[/ot]
Capire le formule scritte dall'OP è davvero disastroso (se non erro l'avevo anche controllato e risultava comunque corretto....)
Ahh perfetto! Grazie mille!
Molti interessante anche il "fuori tema".
Grazie mille ancora!
Molti interessante anche il "fuori tema".
Grazie mille ancora!
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