Esercizio Probabilità Rottura Nodi Consecutivi

[nostradamus19151]

Salve a tutti, il problema è il seguente: Ho una rete di N nodi interconnessi tra di loro, il sistema smette di funzionare se 2 nodi consecutivi si rompono. Supponendo che si rompano K nodi, qual'è la probabilità che il sistema si rompa? Quindi praticamente devo calcolare P(sistema si rompe|k nodi si rompono). Faccio un esempio: N = 6 e K = 3
Abbiamo i nodi: A B C D E F
Se ad esempio si rompono BC o AF, il sistema smette di funzionare.
- Il primo nodo posso sceglierlo come voglio => P(I) = 1
- Per il secondo, supponiamo che abbiamo scelto A, non posso scegliere B ed F, ma neanche D, perché con la terza scelta andrei per forza a prendere un nodo consecutivo => P(II) = 2/5
- Infine per il terzo, posso scegliere solamente C se ho scelto E o viceversa => P(III) = 1/4
- P(Sistema non rotto) = P(I)*P(II)*P(III) = 1/10 => P(Sistema rotto) = 1 - P(Sistema non rotto) = 9/10
Il problema è che aumentando N diventa troppo difficile farlo a mano, si può esprimere matematicamente la cosa?

[orsoulx]

"nostradamus1915":Il problema è che aumentando N diventa troppo difficile farlo a mano, si può esprimere matematicamente la cosa?

Concordo con quanto affermi: il procedimento che hai applicato diventa rapidamente molto oneroso, La probabilità che, nonostante $ k $ nodi rotti, il sistema continui a funzionare è $ p(n,k)=(((n-k-1),(k-1)))/(((n-1),(k-1))) $ con $ 1<=k<=|__n/2__| $.
Uno spunto in merito al procedimento utilizzato per ottenere il risultato lo puoi trovare in questa discussione:
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=11&t=194670
Ciao

[nostradamus19151]

Wow funziona, grazie! Ho dato un'occhiata all'altro post, ma non mi è chiarissimo come viene fuori questa soluzione. Se puoi darmi qualche delucidazione te ne sarei molto grato

[orsoulx]

La formula traduce il consueto rapporto casi favorevoli fratto totale dei casi. A denominatore il numero di modi in cui si possono disporre $ k $ interruttori rotti in $ n $ posizioni su una ipotetica circonferenza: si usa uno degli interruttori non funzionanti per 'segnare' una posizione qualsivoglia (in questo modo si evita di conteggiare più volte distribuzioni che differiscono solo per rotazioni) e restano $ n-1 $ posti e $ k-1 $ rotture. Per contare quante di queste assegnazioni consentono il funzionamento del sistema, si osserva che per permettere questo è necessario che ogni interruttore rotto $ R $ sia preceduto e seguito da uno funzionante $F $, ma per garantire questo è sufficiente che, fissato a piacere il verso di percorrenza, ogni $ R $ sia seguito da un $ F $. Pensiamo allora di accoppiare ogni $ R $ ad un $ F $ ottenendo una coppia $ C $; il numero di queste coppie sarà sempre $ k $ mentre, a causa della diminuzione degli $ F $ 'liberi', il numero di posti su cui distribuirle diventa $ n-k $. A questo punto il medesimo approccio usato per il denominatore fornisce l'espressione per il numeratore. Le limitazioni mi paiono ovvie: in mancanza di $R$ il sistema funziona sicuramente, mentre se gli $ R $ sono più degli $ F $ non può funzionare.
Ciao