Esercizio probabilità ripetizioni

[nik951]

Ciao a tutti,
ho il seguente esercizio da risolvere per il quale non riesco ad ottenere il risultato indicato.
Un esame consiste di un test a scelta multipla composto da 5 domande, per ciascuna delle quali sono proposte 4 possibili scelte e una sola è quella corretta. Per avere la sufficienza occorre aver risposto ad almeno 3 domande. Calcolare la probabilità di passare l'esame per uno studente che si presenta rispondendo a caso e senza aver studiato.
Io ho pensato di procedere in questo modo: calcolo la probabilità di ottenere k volte (nel mio caso 3) un esito in r (nel mio caso 5) prove ripetute indipendenti, cioè
\(\displaystyle \binom{5}{3}(\frac{1}{4})^{3}(\frac{3}{4})^{2} \)
ma il risultato che ottengo non è $13/128$ che invece dovrei avere.
Sapreste indicarmi, per favore, dove sbaglio?
Grazie mille!

[Umby2]

"nik95":
aver risposto ad almeno 3 domande.

Per almeno 3, si intende 3, ma anche 4 o 5....

[nik951]

Quindi il procedimento che ho seguito io è per trovare la probabilità di rispondere correttamente ad esattamente 3 domande. Quindi per trovare la probabilità di rispondere correttamente ad almeno 3 domande devo fare l'unione tra la probabilità di rispondere correttamente a 3, a 4 e a 5?

[Umby2]

"nik95":Quindi il procedimento che ho seguito io è per trovare la probabilità di rispondere correttamente ad esattamente 3 domande.

"nik95":Quindi per trovare la probabilità di rispondere correttamente ad almeno 3 domande devo fare l'unione tra la probabilità di rispondere correttamente a 3, a 4 e a 5?

p.s. il risultato del testo è corretto ?

[nik951]

Si, o almeno riporto quanto indicato come soluzione dal testo dell'esercizio che è $13/128$
Grazie

[nik951]

"nik95":Quindi per trovare la probabilità di rispondere correttamente ad almeno 3 domande devo fare l'unione tra la probabilità di rispondere correttamente a 3, a 4 e a 5?

p.s. il risultato del testo è corretto ? [/quote]

Ho provato in alternativa a seguire questo procedimento:
calcolo la probabilità di ottenere esattamente 3 risposte corrette, cioè \( \displaystyle P(3)= \binom{5}{3}(\frac{1}{4})^{3}(\frac{3}{4})^{2}=\frac{45}{512} \),
la probabilità di ottenere esattamente 4 risposte corrette, cioè \( \displaystyle P(4)= \binom{5}{4}(\frac{1}{4})^{4}(\frac{3}{4})^{1}=\frac{15}{1024} \),
e la probabilità di ottenere esattamente 5 risposte corrette, cioè \( \displaystyle P(5)= \binom{5}{5}(\frac{1}{4})^{5}(\frac{3}{4})^{0}=\frac{1}{1024} \).
Sommo poi $p(1)+p(2)+p(3)=\frac{53}{512}$ ma non è il risultato indicato, che dovrebbe essere $13/128$
Ho provato anche a calcolare la probabilità di ottenere almeno 3 risposte corrette, sempre che sia giusto il procedimento, cioè $P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)$ ma anche in questo modo non ottengo la soluzione.
Sapreste per favore indicarmi qual è il procedimento corretto?
Grazie mille!

[superpippone]

Ciao.
In effetti la risposta corretta $106/1.024$ ovvero $53/512$.

[Umby2]

"nik95":
Sapreste per favore indicarmi qual è il procedimento corretto?
Grazie mille!

Ti avevo già detto, che avevo qualche dubbio sulla soluzione del testo...
Il tuo calcolo sembra perfetto.

Se proprio hai qualche dubbio, prova a calcolare la p. opposta (utilizzando lo stesso sistema), e controlla che il totale sia pari ad 1.

[nik951]

Grazie mille a entrambi!