[Esercizio probabilità] Rettangolop con circonferenze
Sia dato un rettangolo su un piano e tre circonferenze dello stesso raggio.
Il centro di ognuna delle tre circonferenze e dato nel rettangolo con la stessa distribuzione di probabilità, costante.
Dato con la stessa distribuzione di probabilità un altro punto nel rettangolo, come si ricava la probabilità che il punto sia interno ad una sola circonferenza?
Il centro di ognuna delle tre circonferenze e dato nel rettangolo con la stessa distribuzione di probabilità, costante.
Dato con la stessa distribuzione di probabilità un altro punto nel rettangolo, come si ricava la probabilità che il punto sia interno ad una sola circonferenza?
Risposte
"nnsoxke":
Sia dato un rettangolo su un piano e tre circonferenze dello stesso raggio.
Il centro di ognuna delle tre circonferenze e dato nel rettangolo con la stessa distribuzione di probabilità, costante.
Dato con la stessa distribuzione di probabilità un altro punto nel rettangolo, come si ricava la probabilità che il punto sia interno ad una sola circonferenza?
probabilmente intendi "uniforme" quando dici "costante".
come si può rispondere se non si sa in che rapporto sono le dimensioni del rettangolo e il raggio ?
Si uniforme, scusami.
Le dimensioni sono tutte date.
Quello che mi rimane difficile, perlomeno a me, è come considerare i casi in cui le circonferenze non sono completamente all'interno del rettangolo.
Posso considerare in generale una superficie media della circonferenza contenuta all'interno del rettangolo per il calcolo della probabilità o questo posso farlo solo nel caso in cui le distribuzioni siano uniformi?
Le dimensioni sono tutte date.
Quello che mi rimane difficile, perlomeno a me, è come considerare i casi in cui le circonferenze non sono completamente all'interno del rettangolo.
Posso considerare in generale una superficie media della circonferenza contenuta all'interno del rettangolo per il calcolo della probabilità o questo posso farlo solo nel caso in cui le distribuzioni siano uniformi?
Forse puoi fare così:
Sia $p$ la probabilità che il punto scelto sia interno a una circonferenza specifica (ovvero, la distanza dal centro è minore del raggio). A questo punto, affinchè un punto sia interno ad una sola circonferenza, se definiamo $X = \text{#circonferenze in cui cade il punto}$, puoi trattare $X$ come una variabile binomiale di parametri $(3, p)$ e studiare $P(X = 1)$.
Sia $p$ la probabilità che il punto scelto sia interno a una circonferenza specifica (ovvero, la distanza dal centro è minore del raggio). A questo punto, affinchè un punto sia interno ad una sola circonferenza, se definiamo $X = \text{#circonferenze in cui cade il punto}$, puoi trattare $X$ come una variabile binomiale di parametri $(3, p)$ e studiare $P(X = 1)$.
"Gatto89":
Forse puoi fare così:
Sia $p$ la probabilità che il punto scelto sia interno a una circonferenza specifica (ovvero, la distanza dal centro è minore del raggio). A questo punto, affinchè un punto sia interno ad una sola circonferenza, se definiamo $X = \text{#circonferenze in cui cade il punto}$, puoi trattare $X$ come una variabile binomiale di parametri $(3, p)$ e studiare $P(X = 1)$.
Potrebbe funzionare ma il punto centrale è calcolare proprio il parametro p
"nnsoxke":
Si uniforme, scusami.
Le dimensioni sono tutte date.
Quello che mi rimane difficile, perlomeno a me, è come considerare i casi in cui le circonferenze non sono completamente all'interno del rettangolo.
Posso considerare in generale una superficie media della circonferenza contenuta all'interno del rettangolo per il calcolo della probabilità o questo posso farlo solo nel caso in cui le distribuzioni siano uniformi?
ti chiedevo perché il modello cambia a seconda dei tre valori (o delle loro proporzioni).
ti chiede in realtà il rapporto tra la somma delle aree delle parti di cerchio "disgiunte dall'uno o dall'altro" che sono all'interno del rettangolo, e l'area del rettangolo stesso. non può essere indifferente se hai un quadrato oppure se hai un rettangolo in cui una dimensione è molto maggiore dall'altra, e non può nemmeno essere indifferente se i cerchi sono puntiformi o se hanno un diametro uguale alla diagonale del rettangolo ...
"adaBTTLS":
[quote="nnsoxke"]Si uniforme, scusami.
Le dimensioni sono tutte date.
Quello che mi rimane difficile, perlomeno a me, è come considerare i casi in cui le circonferenze non sono completamente all'interno del rettangolo.
Posso considerare in generale una superficie media della circonferenza contenuta all'interno del rettangolo per il calcolo della probabilità o questo posso farlo solo nel caso in cui le distribuzioni siano uniformi?
ti chiedevo perché il modello cambia a seconda dei tre valori (o delle loro proporzioni).
ti chiede in realtà il rapporto tra la somma delle aree delle parti di cerchio "disgiunte dall'uno o dall'altro" che sono all'interno del rettangolo, e l'area del rettangolo stesso. non può essere indifferente se hai un quadrato oppure se hai un rettangolo in cui una dimensione è molto maggiore dall'altra, e non può nemmeno essere indifferente se i cerchi sono puntiformi o se hanno un diametro uguale alla diagonale del rettangolo ...[/quote]
Sinceramente non so come si possa risolvere e credevo che il modo di procedere nella soluzione fosse lo stesso, tranne i casi in cui il raggio dei cerchi sia uguale o maggiore alla diagonale del rettangolo, per cui il punto deve essere necessariamente interno ai 3 cerchi. Evidentemente mi sbagliavo.
Mettiamo che le circonferenze non siano puntiformi, che il diametro sia inferiore alla diagonale del rettangolo e che il rapporto tra i lati del rettangolo sia 2.
Quello che avevo intenzione di fare nel calcolare la probabilità che il punto sia interno ad un cerchio (non un solo cerchio) è di calcolare la superficie media di cerchio contenuta all'interno del rettangolo. Quello che mi chiedo è se sia un metodo generae questo o ho sfruttatto il fatto che sia la distribuzione del punto che quella del centro della circonferenza sia uniforme...
hai presente il quesito n. 3 del compito d'esame di maturità di quest'anno (scientifico PNI)?
ebbene, quel tipo di probabilità è solo l'introduzione al tuo problema, ma va calcolata: con che probabilità un cerchio è tutto interno al rettangolo?
certo che il tuo problema posto così non è elementare, anche se, forse, se parti dalle basi, si può suddividere in sotto-problemi più accessibili.
però deve essere chiaro che cosa vuoi calcolare.
tu parli di "superficie media di cerchio contenuta all'interno del rettangolo": che cosa intendi? rispetto a che cosa faresti la media?
ebbene, quel tipo di probabilità è solo l'introduzione al tuo problema, ma va calcolata: con che probabilità un cerchio è tutto interno al rettangolo?
certo che il tuo problema posto così non è elementare, anche se, forse, se parti dalle basi, si può suddividere in sotto-problemi più accessibili.
però deve essere chiaro che cosa vuoi calcolare.
tu parli di "superficie media di cerchio contenuta all'interno del rettangolo": che cosa intendi? rispetto a che cosa faresti la media?
Forse ho capito il suggerimento, praticamente mi dici che dovrei suddividere in casi in cui un generico cerchio sia completamente contenuto all'interno del rettangolo e quelli in cui si interseca con questo, calcolare le rispettive probabilità...
La media la farei come media integrale sul rettangolo della superficie del cerchio contenuta all'interno del rettangolo, con peso la probabilità che il centro si trovi in una particolare superficie infinitesima del rettangolo.
In maniera anche non pienamente cosciente decido di utilizzare questa media perchè anche la distribuzione del punto, oltre a quella dei centri delle circonferenze, è uniforme. Se non fosse così non saprei come uscirne
La media la farei come media integrale sul rettangolo della superficie del cerchio contenuta all'interno del rettangolo, con peso la probabilità che il centro si trovi in una particolare superficie infinitesima del rettangolo.
In maniera anche non pienamente cosciente decido di utilizzare questa media perchè anche la distribuzione del punto, oltre a quella dei centri delle circonferenze, è uniforme. Se non fosse così non saprei come uscirne
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