Esercizio probabilità non chiaro
Ciao a tutti!
Vorrei che mi aiutaste a comprendere il testo di questo esercizio:
Un campione di 5 oggetti viene estratto da una popolazione, più numerosa, di $N$ oggetti ($N \ge 5$). Sia $N_w$ e $N_{w_1}$ il numero dei diversi campioni che possono essere estratti secondo che, rispettivamente, il campionamento sia fatto con o senza reimmissione. Trovate i valori di $N_w$ e $N_{w_1}$. Mostrate che quando $N$ è molto grande, questi due valori sono approssimativamente uguali, nel senso che il loro rapporto tende a 1 ma non nel senso che la differenza è vicina a 0.
Non riesco a capire cosa mi stia chiedendo di trovare, dato che non si fa alcun riferimento a quale sia la composizione della popolazione.
Grazie!
Vorrei che mi aiutaste a comprendere il testo di questo esercizio:
Un campione di 5 oggetti viene estratto da una popolazione, più numerosa, di $N$ oggetti ($N \ge 5$). Sia $N_w$ e $N_{w_1}$ il numero dei diversi campioni che possono essere estratti secondo che, rispettivamente, il campionamento sia fatto con o senza reimmissione. Trovate i valori di $N_w$ e $N_{w_1}$. Mostrate che quando $N$ è molto grande, questi due valori sono approssimativamente uguali, nel senso che il loro rapporto tende a 1 ma non nel senso che la differenza è vicina a 0.
Non riesco a capire cosa mi stia chiedendo di trovare, dato che non si fa alcun riferimento a quale sia la composizione della popolazione.
Grazie!
Risposte
Non so se ho capito bene.
Se ho capito:
$N_w=(N!)/((5!)(N-5)!)$
ed
$N_(w1)=(N-(N mod 5))/5$
Poi trovi il limite per N che tende a infinito:
$lim_(n rightarrow infty) (N!)/((5!)(N-5)!)$
e
$lim_(n rightarrow infty) (N-(N mod 5))/5$
Infine trovi il rapporto tra i due limiti
Se ho capito:
$N_w=(N!)/((5!)(N-5)!)$
ed
$N_(w1)=(N-(N mod 5))/5$
Poi trovi il limite per N che tende a infinito:
$lim_(n rightarrow infty) (N!)/((5!)(N-5)!)$
e
$lim_(n rightarrow infty) (N-(N mod 5))/5$
Infine trovi il rapporto tra i due limiti
Nel frattempo ho capito io:
se il campione di ampiezza 5 viene estratto con reimmissione, $N_w = N * N * N * N * N = N ^5$, mentre, nel caso senza reimmissione, $N_{w_1} = N * (N-1) * (N-2) * (N - 3) * (N-4) = (N)_5$.
A questo punto calcolo il limite del rapporto per $N \rigtharrow \infty$, che tende ad 1.
Invece, la differenza tende a infinito, perché $N_w - N_{w_1} = N^5 - N * (N-1) * (N-2) * (N - 3) * (N-4) = 10N^4 - 35N^3 + 50N^2-24N$.
Grazie per la risposta!
se il campione di ampiezza 5 viene estratto con reimmissione, $N_w = N * N * N * N * N = N ^5$, mentre, nel caso senza reimmissione, $N_{w_1} = N * (N-1) * (N-2) * (N - 3) * (N-4) = (N)_5$.
A questo punto calcolo il limite del rapporto per $N \rigtharrow \infty$, che tende ad 1.
Invece, la differenza tende a infinito, perché $N_w - N_{w_1} = N^5 - N * (N-1) * (N-2) * (N - 3) * (N-4) = 10N^4 - 35N^3 + 50N^2-24N$.
Grazie per la risposta!
Ok. Io avevo capito che bisognasse estrarre tante cinquine diverse con e senza reimmissone...
Anch'io. Però non essendoci nessuna indicazione sulla composizione degli n elementi, sono arrivata a questa conclusione e ho avuto conferma che fosse quella giusta.
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