Esercizio probabilità eventi dipendenti e indipendenti
Buona sera ragazzi,
sto ragionando sul seguente esercizio:
I 3 supermercati, che offrono un certo prodotto, hanno richieste giornaliere pari a 2,5 pezzi l'uno. Cosa deve prevedere il magazziniere per assicurare che la scorta giornaliera di ciascun supermercato sia sufficiente con probabilità 95% se ogni supermercato deve avere una sua scorta propria?
Ho chiamato con $X_a$, $X_b$ e $X_c$ rispettivamente la scorta di ogni supermercato. Dal testo si capisce che tali eventi sono indipendenti e quindi posso semplicemente concludere che il magazziniere deve tenere conto che:
$$P(X_a>=2,5)=0.95, \ P(X_b>=2,5)=0.95,\ P(X_c>=2,5)=0.95$$
Ma non mi pare di avere sufficienti dati per poter capire a quanto deve ammontare la scorta di ciascun supermercato o sbaglio?
sto ragionando sul seguente esercizio:
I 3 supermercati, che offrono un certo prodotto, hanno richieste giornaliere pari a 2,5 pezzi l'uno. Cosa deve prevedere il magazziniere per assicurare che la scorta giornaliera di ciascun supermercato sia sufficiente con probabilità 95% se ogni supermercato deve avere una sua scorta propria?
Ho chiamato con $X_a$, $X_b$ e $X_c$ rispettivamente la scorta di ogni supermercato. Dal testo si capisce che tali eventi sono indipendenti e quindi posso semplicemente concludere che il magazziniere deve tenere conto che:
$$P(X_a>=2,5)=0.95, \ P(X_b>=2,5)=0.95,\ P(X_c>=2,5)=0.95$$
Ma non mi pare di avere sufficienti dati per poter capire a quanto deve ammontare la scorta di ciascun supermercato o sbaglio?
Risposte
Probabilmente intende:"hanno richieste MEDIE pari a 2.5 pezzi giornalieri " altrimenti l'esercizio non ha senso.
Così invece dovresti essere in grado di risolvere
Così invece dovresti essere in grado di risolvere
No non può risolvere
Ricontrolla l'esercizio, devi fare un intervallo di confidenza al 95% se la varianza non è nota ti serve almeno un campione qualcosa... ergo manca qualche dato...
Ricontrolla l'esercizio, devi fare un intervallo di confidenza al 95% se la varianza non è nota ti serve almeno un campione qualcosa... ergo manca qualche dato...
"BBr1an":
No non può risolvere...devi fare...
@BBr1an: forse è il caso di non essere così perentorio nelle conclusioni ( e non mi riferisco unicamente a questo topic...)
@mbistato: Come ti ho detto è sufficiente che il testo dica:"hanno richieste MEDIE giornaliere pari a 2.5" dopodiché si può risolvere molto semplicemente (e senza utilizzare gli intervalli di confidenza come consigliato da BBr1an)
Ovviamente devi iniziare ad impostare le probabilità richieste in maniera corretta....come hai fatto tu non hanno alcun senso...anzi in un certo "senso" hanno il significato opposto a quanto richiesto....
tu hai scritto $P(X>k)=95%$ che significa il contrario di quanto richiesto...a te interessa l'evento per il quale la probabilità che vi sia una richiesta superiore alla scorta è bassa: $<=5%$
"tommik":
[quote="BBr1an"]No non può risolvere...devi fare...
@BBr1an: forse è il caso di non essere così perentorio nelle conclusioni ( e non mi riferisco unicamente a questo topic...)
[/quote]
Ma lol è il secondo topic a cui rispondo, se questa è l'aria chiedo scusa e lascio il forum...
Comunque che erano richieste medie si era capito, quello che non ho capito io è come fa il magazziniere a scegliere la quantità di scorte per un supermercato (e basta calcolarne per uno per risolvere il problema visto che la quantità non è cumulativa) affinché copra col 95% di possibilità le richieste medie giornaliere.
Le richieste medie sono 2,5 pezzi l'uno, ma non può bastare come dati per risolvere l'esercizio, almeno credo...
Ho riletto l'esercizio, l'unica deduzione a cui può arrivare il magazziniere è che se fornisce ogni supermercato in quel modo, allora la probabilità che almeno uno rimanga senza scorte è 1-(0.95)^3=0.142625, almeno questa è l'unica soluzione che riuscirei a tirare fuori se l'esercizio è così
"BBr1an":
...se questa è l'aria chiedo scusa e lascio il forum...
ti ho solo consigliato di essere meno perentorio nelle conclusioni, non mi sembra di essere stato sgarbato
[ot]tieni presente che il forum è frequentato da Ricercatori, Professori Universitari, Appassionati della materia con decenni di esperienza e quindi, senza nulla togliere alle tue competenze, se scrivi frasi del tipo: "non si può risolvere" oppure "devi fare così" sei anche tenuto ad argomentare le tue conclusioni in modo inconfutabile, altrimenti presti il fianco a giuste critiche. Ti dico questo proprio perché sei ai tuoi primi post.
Già che siamo in tema, ti ricordo che il forum consiglia di scrivere le formule in maniera leggibile, ovvero utilizzando l'apposito compilatore. Tale "consiglio" diventa obbligatorio dopo 30 messaggi...e i messaggi di questo forum non conformi al regolamento io li chiudo[/ot]
Per quanto riguarda l'esercizio si può utilizzare il seguente Teorema noto anche come Disuguaglianza di Markov:
Sia $X$ una variabile casuale e $g(.)$ una funzione non negativa avente come dominio la retta reale; allora
$P[g(X)>=k]<=(E[g(X)])/k$
per ogni $k>0$
Grazie tommik per la delucidazione come sempre impeccabile 
"tommik":
@mbistato: Come ti ho detto è sufficiente che il testo dica:"hanno richieste MEDIE giornaliere pari a 2.5" dopodiché si può risolvere molto semplicemente (e senza utilizzare gli intervalli di confidenza come consigliato da BBr1an)
Ovviamente devi iniziare ad impostare le probabilità richieste in maniera corretta....come hai fatto tu non hanno alcun senso...anzi in un certo "senso" hanno il significato opposto a quanto richiesto....
tu hai scritto $P(X>k)=95\%$ che significa il contrario di quanto richiesto...a te interessa l'evento per il quale la probabilità che vi sia una richiesta superiore alla scorta è bassa: $<=5%$
Basandomi su quello che hai scritto, il seguente esercizio rappresenta la stessa casistica:
Un sistema di illuminazione è costituito da 4 lampadine, con vita attesa ognuna pari a 10 ore, che entrano in funzione una dietro l'altra, man mano che le precedenti si guastano. Formulando le opportune ipotesi necessarie, determinare fino a che istante l'affidabilità del sistema si mantiene superiore al 95%.
RAGIONAMENTO:
Se con $X_i$ indichiamo il tempo di funzionamento dell'i-esima lampadina, le $X_i$ sono VA indipendenti e distribuite esponenzialmente con paramentro $\lambda$ dato da:
$$E(X_i)=\frac{1}{\lambda}=10\ \Rightarrow\ \lambda=\frac{1}{10}$$
L'affidabilità del sistema è dato da $T=X_1+X_2+X_3+X_4$, il cui valore atteso risulta $E(T)= 4*E(X_i)=40$.
Allora la richiesta equivale a trovare quell'istante $t$ tale che
$$P(T\leq t)\geq 95\%$$
Da qui, facendo alcuni passaggi e applicando la disuguaglianza di Markov ottengo che $t=800$ ore.
no, non ti inalberare ma questo caso è diverso!
La disuguaglianza di Markov è troppo lasca e si utilizza soltanto quando non ci sono altre informazioni ed inoltre essa fornisce il limite per
$P[X>k]k]>alpha$ che è una cosa diversa.
Conoscendo la distribuzione la disuguaglianza di Markov (come pure quella di Cebicev) è del tutto inutile.
Come hai intuito, essa è una Esponenziale negativa di parametro $1/10$.
Anche la distribuzione della durata complessiva è corretta: dipende da come sono collegate le lampadine: in serie, in parallelo oppure, come in questo caso, in ausiliario.
Nella dispensa che ti ho indicato l'altra volta a pagg. 115 e seguenti ( esempio 4.8) trovi un esercizio del tutto simile già risolto e ti fa anche tutti e tre i casi
1) collegamento in serie
2) collegamento in parallelo
3) collegamento in ausiliario
Questo esempio è di grande importanza...quindi studialo bene....
La differenza rispetto al tuo caso è che qui di lampadine ce ne sono 4 e non due. Quindi innanzitutto occorre imporre che le durate delle singole lampadine siano indipendenti....poi capire come si distribuisce la somma delle 4 esponenziali $Exp(1/10)$ indipendenti -> si distribuisce come una $Y~Gamma(4;1/10)$ che infatti ha media pari a $E[Y]=4\cdot10=40$
A questo punto puoi o risolvere l'integrale risultante (che è piuttosto semplice fatto più volte per parti) oppure standardizzare la distribuzione Gamma e guardare il risultato con le tavole della $chi^2$ con 8 gdl
Già dal fatto che la media della Y è 40 ore puoi immaginare che l'affidabilità al 95% non può essere superiore a 40. A conti fatti viene $P(Y>=y)>0.95 rarr y<=13,66$ ore, ovvero un limite di affidabilità di circa 13 ore e 39 minuti.
RIASSUMENDO:
1) occorre ipotizzare che le durate delle singole lampadine siano indipendenti e distribuite esponenzialmente (e queste sono assunzioni molto naturali)
2) Capire che con il sistema in esame la durata totale è la somma delle singole durate
3) Sapere che, se $X~Exp(theta)$ allora $Y=sum_(i=1)^(n)X_i~Gamma(n;theta)$
4) Risolvere l'integrale della distribuzione Gamma oppure ricordarsi che, se $Y~Gamma(n;theta)$, allora $W=2thetaY~chi_((2n))^2$ e quindi calcolare $P(Y>=y)>0.95$ con l'uso delle tavole (o con Excel, dato che la funzione CHI è tabulata) invece che risolvere analiticamente l'integrale della distribuzione gamma.
Ovviamente se non riesci dopo intervengo di nuovo; in effetti è un esercizio un po' più articolato rispetto a quelli che hai postato finora
La disuguaglianza di Markov è troppo lasca e si utilizza soltanto quando non ci sono altre informazioni ed inoltre essa fornisce il limite per
$P[X>k]
Conoscendo la distribuzione la disuguaglianza di Markov (come pure quella di Cebicev) è del tutto inutile.
Come hai intuito, essa è una Esponenziale negativa di parametro $1/10$.
Anche la distribuzione della durata complessiva è corretta: dipende da come sono collegate le lampadine: in serie, in parallelo oppure, come in questo caso, in ausiliario.
Nella dispensa che ti ho indicato l'altra volta a pagg. 115 e seguenti ( esempio 4.8) trovi un esercizio del tutto simile già risolto e ti fa anche tutti e tre i casi
1) collegamento in serie
2) collegamento in parallelo
3) collegamento in ausiliario
Questo esempio è di grande importanza...quindi studialo bene....
La differenza rispetto al tuo caso è che qui di lampadine ce ne sono 4 e non due. Quindi innanzitutto occorre imporre che le durate delle singole lampadine siano indipendenti....poi capire come si distribuisce la somma delle 4 esponenziali $Exp(1/10)$ indipendenti -> si distribuisce come una $Y~Gamma(4;1/10)$ che infatti ha media pari a $E[Y]=4\cdot10=40$
A questo punto puoi o risolvere l'integrale risultante (che è piuttosto semplice fatto più volte per parti) oppure standardizzare la distribuzione Gamma e guardare il risultato con le tavole della $chi^2$ con 8 gdl
Già dal fatto che la media della Y è 40 ore puoi immaginare che l'affidabilità al 95% non può essere superiore a 40. A conti fatti viene $P(Y>=y)>0.95 rarr y<=13,66$ ore, ovvero un limite di affidabilità di circa 13 ore e 39 minuti.
RIASSUMENDO:
1) occorre ipotizzare che le durate delle singole lampadine siano indipendenti e distribuite esponenzialmente (e queste sono assunzioni molto naturali)
2) Capire che con il sistema in esame la durata totale è la somma delle singole durate
3) Sapere che, se $X~Exp(theta)$ allora $Y=sum_(i=1)^(n)X_i~Gamma(n;theta)$
4) Risolvere l'integrale della distribuzione Gamma oppure ricordarsi che, se $Y~Gamma(n;theta)$, allora $W=2thetaY~chi_((2n))^2$ e quindi calcolare $P(Y>=y)>0.95$ con l'uso delle tavole (o con Excel, dato che la funzione CHI è tabulata) invece che risolvere analiticamente l'integrale della distribuzione gamma.
Ovviamente se non riesci dopo intervengo di nuovo; in effetti è un esercizio un po' più articolato rispetto a quelli che hai postato finora
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