Esercizio probabilita del prodotto di v.a.
Ciao a tutti, ho un'incertezza sul sesguente quesito:
Siano:
$ X ~ U(0,2); Y ~ N(0,2); Z ~ B(4,1/3) $ , cioe rispettivamente una uniforme, una normale e una binomiale.
Tre variabili aleatorie indipendenti e t.c. $ W = X*Y*Z $.
Calcolare la $ P(W = 0) $.
Io ho risolto l'esercizio facendo:
$ P(W = 0) = P(X*Y*Z = 0) = P(Z = O) $, per il fatto che essendo $ X $ e $ Y $ due v.a. continue la probabilità che assumano un valore preciso è zero, devono assumere il valore di un intervallo. Quindi ho sostituito i parametri alla binomiale e risulta:
$ (1-p)^4 = (2/3)^4 = 16/81 $
il risultato credo sia corretto anche se ho delle incertezze; in quanto le variabili sono indipendenti, due delle quali continue, quindi per quanto ne so si potrebbe anche fare:
$ P(X*Y*Z=0) = P(X=0)*P(Y=0)*P(Z=0) $, ma, come detto prima, essendo continue $ X $ e $ Y $ risulterebbe:
$ P(X=0)*P(Y=0)*P(Z=0) = 0*0*(Z=0) = 0 $ ovvero $ P(W=0)=0 $.
Cosa non considero?
Siano:
$ X ~ U(0,2); Y ~ N(0,2); Z ~ B(4,1/3) $ , cioe rispettivamente una uniforme, una normale e una binomiale.
Tre variabili aleatorie indipendenti e t.c. $ W = X*Y*Z $.
Calcolare la $ P(W = 0) $.
Io ho risolto l'esercizio facendo:
$ P(W = 0) = P(X*Y*Z = 0) = P(Z = O) $, per il fatto che essendo $ X $ e $ Y $ due v.a. continue la probabilità che assumano un valore preciso è zero, devono assumere il valore di un intervallo. Quindi ho sostituito i parametri alla binomiale e risulta:
$ (1-p)^4 = (2/3)^4 = 16/81 $
il risultato credo sia corretto anche se ho delle incertezze; in quanto le variabili sono indipendenti, due delle quali continue, quindi per quanto ne so si potrebbe anche fare:
$ P(X*Y*Z=0) = P(X=0)*P(Y=0)*P(Z=0) $, ma, come detto prima, essendo continue $ X $ e $ Y $ risulterebbe:
$ P(X=0)*P(Y=0)*P(Z=0) = 0*0*(Z=0) = 0 $ ovvero $ P(W=0)=0 $.
Cosa non considero?
Risposte
Stai attento che [tex]P(X \cdot Y \cdot Z = 0) \ne P(X= 0, Y = 0, Z = 0)[/tex], ma [tex]P(X \cdot Y \cdot Z = 0) = P(\{X= 0\} \cup \{Y = 0\} \cup \{Z = 0\}) = P(Z = 0)[/tex] come dici te
Grazie mille per il chiarimento ma vorrei capire la proprietà che hai utilizzato dato che nel mio libro si specifica solamente che nel caso di v.a. indipendenti la formula è:
\( P X1,...,Xn(x1, ... ,xn)= \coprod_{i = 1}^n(p(xi)) \).
Per quale motivo in questo caso no? A rigor di logica direi che per far si che la mia variabile \( W \) sia \( 0 \) è sufficiente che almeno una tra le v.a in gioco lo sia, e quindi si fa la probabilità dell'unione di eventi indipendenti, tuttavia,se è questo il motivo, come faccio a riconoscere tutto ciò in un esercizio qualsiasi, qual è il criterio? Grazie a chi risponderà!
\( P X1,...,Xn(x1, ... ,xn)= \coprod_{i = 1}^n(p(xi)) \).
Per quale motivo in questo caso no? A rigor di logica direi che per far si che la mia variabile \( W \) sia \( 0 \) è sufficiente che almeno una tra le v.a in gioco lo sia, e quindi si fa la probabilità dell'unione di eventi indipendenti, tuttavia,se è questo il motivo, come faccio a riconoscere tutto ciò in un esercizio qualsiasi, qual è il criterio? Grazie a chi risponderà!
Ma qual è il criterio di discernimento in relazione al messaggio che ho scritto prima? Grazie
la probabilità di $Z=g(X_1,...,X_n)$ va calcolata così
$F_Z=int...int_(g(X_1,...,X_n)<=z)f_(X_1 ,..., X_n)(x_1,...,x_n)dx_1 ... dx_n$
quando farai un po' di esercizi sulle trasformazioni di variabile lo vedrai nei dettagli.
$F_Z=int...int_(g(X_1,...,X_n)<=z)f_(X_1 ,..., X_n)(x_1,...,x_n)dx_1 ... dx_n$
quando farai un po' di esercizi sulle trasformazioni di variabile lo vedrai nei dettagli.
Sì il ragionamento fila, non ci avevo nemmeno pensato :/. Grazie mille.
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