Esercizio Probabilità dadi
Ho problemi con questo esercizio...
"Tizio e Caio giocano con due dadi perfetti. Tizio vincerà facendo uscire sette, Caio vincerà facendo uscire sei. Caio è il primo a lanciare i dadi e successivamente tireranno alternativamente i dadi fino a quando uno dei due vincerà. Calcolare la probabilità di vittoria di ciascuno dei giocatori"
Mi sono fermato praticamente subito perchè non ho capito come gestire le giocate che teoricamente (se non sbaglio) potrebbero essere infinite...cioè al primo lancio $P(text {Vittoria Caio})= 5/36 $ mentre Tizio deve sperare che Caio perda per poi avere un evento favorevole su sei (o meglio 6 su 36). Però non riesco a capire cosa farci di tutti gli altri possibili risultati...che porterebbero ad una ripetizione del gioco.
Grazie in anticipo!
"Tizio e Caio giocano con due dadi perfetti. Tizio vincerà facendo uscire sette, Caio vincerà facendo uscire sei. Caio è il primo a lanciare i dadi e successivamente tireranno alternativamente i dadi fino a quando uno dei due vincerà. Calcolare la probabilità di vittoria di ciascuno dei giocatori"
Mi sono fermato praticamente subito perchè non ho capito come gestire le giocate che teoricamente (se non sbaglio) potrebbero essere infinite...cioè al primo lancio $P(text {Vittoria Caio})= 5/36 $ mentre Tizio deve sperare che Caio perda per poi avere un evento favorevole su sei (o meglio 6 su 36). Però non riesco a capire cosa farci di tutti gli altri possibili risultati...che porterebbero ad una ripetizione del gioco.
Grazie in anticipo!
Risposte
Sia $p$ è la probabilità di Tizio di fare 7 e $q$ quella di Caio di fare 6
Calcoliamo la probabilità di vittoria di Tizio:
-Tizio vince al primo lancio semplicemente se fa 7, quindi la probabilità è $p$
-Tizio vince al secondo lancio se né lui né Caio hanno vinto al primo lancio e se fa 7, quindi la probabilità è $(1-p-q)p$
-Tizio vince al terzo lancio se nessuno dei due ha vinto al primo lancio né al secondo lancio e se fa 7, quindi la probabilità è $(1-p-q)^2p$
...
-Tizio vince al k-esimo lancio, se nessuno dei due ha vinto ai primi k-1 lanci e se fa 7, quindi la probabilità è $(1-p-q)^{k-1}p$
Ora, Tizio vince se "vince dopo un lancio" oppure "vince dopo due lanci" oppure "vince dopo tre lanci" ecc.
Quindi la probabilità totale sarà data da...?
Calcoliamo la probabilità di vittoria di Tizio:
-Tizio vince al primo lancio semplicemente se fa 7, quindi la probabilità è $p$
-Tizio vince al secondo lancio se né lui né Caio hanno vinto al primo lancio e se fa 7, quindi la probabilità è $(1-p-q)p$
-Tizio vince al terzo lancio se nessuno dei due ha vinto al primo lancio né al secondo lancio e se fa 7, quindi la probabilità è $(1-p-q)^2p$
...
-Tizio vince al k-esimo lancio, se nessuno dei due ha vinto ai primi k-1 lanci e se fa 7, quindi la probabilità è $(1-p-q)^{k-1}p$
Ora, Tizio vince se "vince dopo un lancio" oppure "vince dopo due lanci" oppure "vince dopo tre lanci" ecc.
Quindi la probabilità totale sarà data da...?
Io stavo ragionando in questo modo...notando però che il gioco andava all'infinito ho scritto solo le formule iniziali...dei primi passaggi...senza estrarre quella generale. Sono andato a vedere i risultati e questi sono numerici. Ovvero dice che
$P(text{tizio})=31/61 $
$P(text{caio})=29/61$
Come ci si arriva a quesi valori?
Grazie mille per la risposta!
$P(text{tizio})=31/61 $
$P(text{caio})=29/61$
Come ci si arriva a quesi valori?
Grazie mille per la risposta!
Scusami, avevo letto velocemente il testo dell'esercizio. Ora, rileggendolo, mi sono reso conto di aver trascurato un'informazione importante: i giocatori tirano in turni diversi alternativamente. La mia risoluzione sarebbe stata corretta se si tirava il dato e (nello stesso turno) uno vinceva se usciva 7 e l'altro se usciva 6.
In ogni caso, il ragionamento è molto simile ($p$ e $q$ sono come prima):
-Inizia Caio, la probabilità di vincere al suo primo turno è $p$
-Tizio vince al suo primo turno se Caio non ha vinto e se fa 7; la probabilità è $(1-p)q$
-Caio vince al suo secondo turno se Tizio non ha vinto al turno precedente e se fa 6; la probabilità è $(1-p)(1-q)p$
E così via.
La vittoria di Caio al suo n-esimo turno equivale a n-1 insuccessi di Caio, n-1 insuccessi di Tizio e un successo di Caio.
La vittoria di Tizio al suo n-esimo turno equivale a n insuccessi di Caio, n-1 insuccessi di TIzio e un successo di TIzio.
Perciò, ottieni:
(con $A_n={\text{Caio vince al suo n-esimo turno}}$ e $B_n={\text{Tizio vince al suo n-esimo turno}}$)
Ma allora la probabilità che Caio vinca è la somma (serie) delle $P(A_n)$. Perché? Prova a capirlo intuitivamente e poi formalizzarlo.
Analogamente la probabilità che Tizio vinca è la serie delle $P(B_n)$.
Per arrivare ai valori numerici, basta poi sostituire $p=5/36$ e $q=1/6$
In ogni caso, il ragionamento è molto simile ($p$ e $q$ sono come prima):
-Inizia Caio, la probabilità di vincere al suo primo turno è $p$
-Tizio vince al suo primo turno se Caio non ha vinto e se fa 7; la probabilità è $(1-p)q$
-Caio vince al suo secondo turno se Tizio non ha vinto al turno precedente e se fa 6; la probabilità è $(1-p)(1-q)p$
E così via.
La vittoria di Caio al suo n-esimo turno equivale a n-1 insuccessi di Caio, n-1 insuccessi di Tizio e un successo di Caio.
La vittoria di Tizio al suo n-esimo turno equivale a n insuccessi di Caio, n-1 insuccessi di TIzio e un successo di TIzio.
Perciò, ottieni:
\(\displaystyle P(A_n)=(1-p)^{n-1}(1-q)^{n-1}p \\ P(B_n)=(1-p)^n(1-q)^{n-1}q \)
(con $A_n={\text{Caio vince al suo n-esimo turno}}$ e $B_n={\text{Tizio vince al suo n-esimo turno}}$)
Ma allora la probabilità che Caio vinca è la somma (serie) delle $P(A_n)$. Perché? Prova a capirlo intuitivamente e poi formalizzarlo.
Analogamente la probabilità che Tizio vinca è la serie delle $P(B_n)$.
Per arrivare ai valori numerici, basta poi sostituire $p=5/36$ e $q=1/6$
Grazie...domani riguardo l'esercizio così vedo di capirlo per bene!
Prego
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