Esercizio probabilità congiunta e marginale
Salve,
ho un esercizio di probabilità congiunta il cui testo è il seguente:
Determinare il parametro c affinchè \(\displaystyle c(xy + x^2y^2) \) sia una buona densità di probabilità nel quadrato \(\displaystyle 0 \leq x,y \leq 1 \) e descriva la distribuzione congiunta di una coppia X,Y di variabili aleatorie. Si determini inoltre la distribuzione marginale di X.
Quello che avevo pensato:
nel testo dell'esercizio si parla di densità di probabilità quindi di variabili aleatorie continue, quindi per calcolare il valore di c è necessario imporre che:
\(\displaystyle \int_x \int_y f_{x,y}(x,y) dy dx = 1 \)
calcolando l'integrale doppio nell'intervallo \(\displaystyle [0,1] \) ottengo che esso è uguale a \(\displaystyle \frac {13}{36} \) di conseguenza \(\displaystyle c = \frac{36}{13} \) (possibile che sia così grande?).
Volendo poi calcolare la marginale di X ho che:
\(\displaystyle P(X=0) = P(X=0,Y=0) + P(X=0,Y=1) \)
\(\displaystyle P(X=1) = P(X=1,Y=0) + P(X=1,Y=1) \)
Per ottenere i valori in cifra vado a costruire la tabella delle marginali sostituendo le varie coppie di valore nella formula
\(\displaystyle f_{xy} = \frac{36}{13}(xy + x^2y^2) \)
questi valori non rispettano la condizione di normalizzazione essendo \(\displaystyle c > 1 \)
Dove sbaglio? Qualcuno potrebbe gentilmente darmi una dritta? Grazie mille!
ho un esercizio di probabilità congiunta il cui testo è il seguente:
Determinare il parametro c affinchè \(\displaystyle c(xy + x^2y^2) \) sia una buona densità di probabilità nel quadrato \(\displaystyle 0 \leq x,y \leq 1 \) e descriva la distribuzione congiunta di una coppia X,Y di variabili aleatorie. Si determini inoltre la distribuzione marginale di X.
Quello che avevo pensato:
nel testo dell'esercizio si parla di densità di probabilità quindi di variabili aleatorie continue, quindi per calcolare il valore di c è necessario imporre che:
\(\displaystyle \int_x \int_y f_{x,y}(x,y) dy dx = 1 \)
calcolando l'integrale doppio nell'intervallo \(\displaystyle [0,1] \) ottengo che esso è uguale a \(\displaystyle \frac {13}{36} \) di conseguenza \(\displaystyle c = \frac{36}{13} \) (possibile che sia così grande?).
Volendo poi calcolare la marginale di X ho che:
\(\displaystyle P(X=0) = P(X=0,Y=0) + P(X=0,Y=1) \)
\(\displaystyle P(X=1) = P(X=1,Y=0) + P(X=1,Y=1) \)
Per ottenere i valori in cifra vado a costruire la tabella delle marginali sostituendo le varie coppie di valore nella formula
\(\displaystyle f_{xy} = \frac{36}{13}(xy + x^2y^2) \)
questi valori non rispettano la condizione di normalizzazione essendo \(\displaystyle c > 1 \)
Dove sbaglio? Qualcuno potrebbe gentilmente darmi una dritta? Grazie mille!
Risposte
Premesso che non l'ho ancora guardato ma la marginale mica si calcola come hai fatto tu, si fa così
$ f (x)=int_(-oo)^(+oo) f (x, y) dy$
$ f (x)=int_(-oo)^(+oo) f (x, y) dy$
Ciao, ti ringrazio per la risposta. Hai ragione,trattandosi di v.a. continue quella che ho postato io non è la formula corretta, per il resto sapresti gentilmente darmi una dritta? Ti ringrazio.
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