Esercizio probabilità condizionata da risolvere in modo furbo
Scusate se torno con un altro esercizio ma questo non sò nemmeno come iniziarlo...o meglio l'inizio è semplice ma non capisco come continuarlo cerco un aiuto non una soluzione posto le possibili soluzioni solo per dare sicurezza a chiunque mi voglia aiutare.
Dovete aprire una porta la cui unica chiave è in un gruppo di 60 chiavi suddivise in 3 mazzi da 20 chiavi ciascuno, apparentemente identici. Scegliete un mazzo a caso e iniziate a provare le chiavi in successione casuale escludendo via via quelle già provate. Se le prime 6 chiavi non aprono la porta quanto vale la probabilità che la chiave non sia nel mazzo scelto?
L'inizio è semplice bisogna scegliere un mazzo e ogni mazzo ha $1/3$ di probabilità ogni mazzo.
Ora di questi mazzi 2 hanno probabilità 1 di non trovare la chiave e una una probabilità di $1-1/(14!)$ (essendo le prime 6 escluse)
Poi non sò come continuare...
Dovete aprire una porta la cui unica chiave è in un gruppo di 60 chiavi suddivise in 3 mazzi da 20 chiavi ciascuno, apparentemente identici. Scegliete un mazzo a caso e iniziate a provare le chiavi in successione casuale escludendo via via quelle già provate. Se le prime 6 chiavi non aprono la porta quanto vale la probabilità che la chiave non sia nel mazzo scelto?
L'inizio è semplice bisogna scegliere un mazzo e ogni mazzo ha $1/3$ di probabilità ogni mazzo.
Ora di questi mazzi 2 hanno probabilità 1 di non trovare la chiave e una una probabilità di $1-1/(14!)$ (essendo le prime 6 escluse)
Poi non sò come continuare...
Risposte
Intanto ti chiedo cortesemente di inserire un topic per ogni esercizio (preferisco così, per mantenere la stanza in ordine ).
Per risolvere basta considerare che nella situazione descritta hai un totale residuo di 54 chiavi, 14 nel mazzo scelto e 40 negli altri due mazzi. Quindi la probabilità che la chiave giusta sia nei mazzi che non hai scelto è semplicemente $40/54$
Ovviamente potresti impostare il problema anche con la formula della probabilità condizionata, arrivando allo stesso risultato ma con un procedimento più articolato.
Definiamo quindi
$bar(M)$ : scelta mazzo sbagliato
$6S$: estrazione di 6 chiavi sbagliate da un qualunque mazzo.
$P {bar (M)}=P {bar (M) nn 6S}=2/3$ essendo ovviamente $bar (M) sub 6S $
E quindi la probabilità cercata è
$P{bar(M)|6S}=(P{bar(M) nn 6S})/(P{6S})=(2/3)/(1/3+1/3+1/3*14/20)=40/54$
Per risolvere basta considerare che nella situazione descritta hai un totale residuo di 54 chiavi, 14 nel mazzo scelto e 40 negli altri due mazzi. Quindi la probabilità che la chiave giusta sia nei mazzi che non hai scelto è semplicemente $40/54$
Ovviamente potresti impostare il problema anche con la formula della probabilità condizionata, arrivando allo stesso risultato ma con un procedimento più articolato.
Definiamo quindi
$bar(M)$ : scelta mazzo sbagliato
$6S$: estrazione di 6 chiavi sbagliate da un qualunque mazzo.
$P {bar (M)}=P {bar (M) nn 6S}=2/3$ essendo ovviamente $bar (M) sub 6S $
E quindi la probabilità cercata è
$P{bar(M)|6S}=(P{bar(M) nn 6S})/(P{6S})=(2/3)/(1/3+1/3+1/3*14/20)=40/54$
Ok scusa pensavo che fosse meglio così per non monopolizzare la cartella.
Comunque a questo ci ero arrivato ma il problema è che mi chiede esplicitamente di trovare la probabilità che se la chiave non si trova nelle prime 6 chiavi non si troverà affatto nel mazzo. Questa condizione non la riesco proprio a focalizzare...
Comunque a questo ci ero arrivato ma il problema è che mi chiede esplicitamente di trovare la probabilità che se la chiave non si trova nelle prime 6 chiavi non si troverà affatto nel mazzo. Questa condizione non la riesco proprio a focalizzare...
È esattamente ciò che ho fatto calcolando la probabilità condizionata all"evento di estrarre $n$ chiavi sbagliate ..... Prima di avere estratto alcuna chiave la probabilità che non sia nel mazzo scelto è $40/60$ ... man mano che estrai chiavi sbagliate tale probabilità (condizionata al numero di chiavi sbagliate estratte ) sale... $P (bar (M)|i)=40/(60-i) $; $i=1,2,...,20$
... fino ad arrivare al 100% nel caso tu estraessi tutte e 20 le chiavi sbagliate dal mazzo scelto.
Mi pare esaustiva come spiegazione.
... fino ad arrivare al 100% nel caso tu estraessi tutte e 20 le chiavi sbagliate dal mazzo scelto.
Mi pare esaustiva come spiegazione.
La cosa che non capisco è il perchè calcoli la probabilità totale delle chiavi su tutti e 3 i mazzi quando io devo dire in pratica la percentuale di aver sbagliato il mazzo dopo 6 estrazioni non dovrei fare qualche calcolo solo su un singolo mazzo? Scusa sarò io che non ho le nozioni necessarie per comprendere. Ti ringrazio lo stesso per il tempo che mi stai dedicando
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