Esercizio probabilità con variabili aleatorie
Ad un concorso si richiede di totalizzare almeno 20 punti in un esame a risposte multiple : le domande sono 10 ed ognuna ha 4 risposte multiple (in cui solo una è corretta).
Si ottengono 2 punti per ogni risposta esatta e -1 per ogni errore.
Se uno studente risponde a caso ad ogni domanda, quale è la pobabilità che superi la prova ?
Ho provato a svolgerlo introducendo $Y_1,........................,Y_10$ variabili aleatorie bernoulliane in cui se la risposta è giusta $Y_j= 2$ se invece è sbagliata $Y_j= -1$ .
Da qui, il punteggio che lo studente ottiene è dato da:
$S_10 = Y_1+.............+Y_10$
quindi dovrei calcolare la probabilità $P( S_10 >= 20)$ solo che mi è difficile calcolare questa probabilità poichè $ S_10$ ha legge binomiale e quindi essendo $>= 20$ è impossibile calcolarla.
Cosa c'è di sbagliato nel mio ragionamento?
Si ottengono 2 punti per ogni risposta esatta e -1 per ogni errore.
Se uno studente risponde a caso ad ogni domanda, quale è la pobabilità che superi la prova ?
Ho provato a svolgerlo introducendo $Y_1,........................,Y_10$ variabili aleatorie bernoulliane in cui se la risposta è giusta $Y_j= 2$ se invece è sbagliata $Y_j= -1$ .
Da qui, il punteggio che lo studente ottiene è dato da:
$S_10 = Y_1+.............+Y_10$
quindi dovrei calcolare la probabilità $P( S_10 >= 20)$ solo che mi è difficile calcolare questa probabilità poichè $ S_10$ ha legge binomiale e quindi essendo $>= 20$ è impossibile calcolarla.
Cosa c'è di sbagliato nel mio ragionamento?
Risposte
Sicuro che il testo sia giusto?
Hai 10 domande, il punteggio massimo ad ognuna è 2 e devi totalizzare almeno 20 punti... l'unica possibilità è risponde esattamente a tutte le domande (e calcolarsi la probabilità di questo evento è facile).
"valy":
Ad un concorso si richiede di totalizzare almeno 20 punti in un esame a risposte multiple : le domande sono 10 ed ognuna ha 4 risposte multiple (in cui solo una è corretta). Si ottengono 2 punti per ogni risposta esatta e -1 per ogni errore.
Hai 10 domande, il punteggio massimo ad ognuna è 2 e devi totalizzare almeno 20 punti... l'unica possibilità è risponde esattamente a tutte le domande (e calcolarsi la probabilità di questo evento è facile).
no infatti ho sbagliato.. devo totalizzare almeno 15 come punteggio quindi la probabilità diventa $P(S_10 >= 15)$ ..
Se non sbaglio i possibili esiti sono: $-10, -7, -4,...,14,17,20$
quindi si può commettere un solo errore
devi fare i conti con una binomiale di parametri $p=0,25$ e $n=10$
calcolando la prob di avere almeno 9 successi.
Comunque e molto difficile...
quindi si può commettere un solo errore
devi fare i conti con una binomiale di parametri $p=0,25$ e $n=10$
calcolando la prob di avere almeno 9 successi.
Comunque e molto difficile...
ma cosa c'è di sbagliato nel mio ragionamnto? e come posso calcolare quella probabilità (qualora fosse giusto)?
L'errore è che non hai considerato il punteggio negativo in caso di errore. Se rispondi esattamente a $N$ domande avrai un punteggio di $2N -(10-N) = 3N -10$, e $3N -10 \geq 15 rarr 3N \geq 25 \rarr N \geq 9$.
Poi, semplicemente, $P(N \geq 9) = P(N = 9) + P(N = 10)$ e queste le calcoli con la formula della binomiale.
Poi, semplicemente, $P(N \geq 9) = P(N = 9) + P(N = 10)$ e queste le calcoli con la formula della binomiale.
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