Esercizio probabilità..
Il numero di pezzi difettosi in una catena di produzione segue una legge B(2,θ) ove θ segue una legge Beta(2,2).
Qual è la densità della variabile aleatoria che rappresenta il numero di guasti? Se ne determini poi la media.
Allora io ho pensato intanto di trovarmi la densità della legge Beta(2,2) e mi viene: 6θ(1-θ) se θ appartiene a [0,1] e 0 altrimenti.
Però ora mi sono bloccata..
Ho pensato di trovare la densità marginale dell'altra considerando la densità condizionale.. è giusto?
Spero che qualcuno mi aiuti.. grazie..
Qual è la densità della variabile aleatoria che rappresenta il numero di guasti? Se ne determini poi la media.
Allora io ho pensato intanto di trovarmi la densità della legge Beta(2,2) e mi viene: 6θ(1-θ) se θ appartiene a [0,1] e 0 altrimenti.
Però ora mi sono bloccata..
Ho pensato di trovare la densità marginale dell'altra considerando la densità condizionale.. è giusto?
Spero che qualcuno mi aiuti.. grazie..
Risposte
Qua il link su come scrivere le formule (click)
Cosa è B(2,theta) una binomiale?
Conosci questo: $P(B_(2,theta)=k)\ =\ E[\ P(B_(2,theta)=k\ |\ theta)\ ]$
Cosa è B(2,theta) una binomiale?
Conosci questo: $P(B_(2,theta)=k)\ =\ E[\ P(B_(2,theta)=k\ |\ theta)\ ]$
Se indichi con $X|\Theta$ (cioè $X$ condizionata a $\Theta$) una v.a Beta$(2,\theta)$ (con densità data da una $f(x,\theta)$) e con $\Theta$ una v.a. Beta$(2,2)$ (con densità data da una $g(\theta)$) avrai che $f(x)=\int f(x|theta)g(\theta) d\theta$.
P.S. Nel mentre aveva già risposto Dajeforte
P.S. Nel mentre aveva già risposto Dajeforte
Ok ma come me la calcolo la densità condizionale?? cioè come mi calcolo la $ f(x| theta) $ ??
Sì B penso sia una binomiale..
Sì B penso sia una binomiale..
DajeForte non capisco cos'è quella formula.. cos'è k?
$k$ è il valore che la variabile assume ovvero k=0 o 1 o 2.
Ok.. e quella formula sarebbe quella che devo usare x calcolarmi la densità della binomiale??
scusa ma nn capisco ancora come calcolarla..
scusa ma nn capisco ancora come calcolarla..
La $f(x|\theta)$ è proprio la tua distribuzione di partenza, quella che hai nominato come $B(2,\theta)$ (binomiale o Beta che sia).
Dajeforte ha solo utilizzato una notazione più elegante ma alla fine il succo è lo stesso.
Dajeforte ha solo utilizzato una notazione più elegante ma alla fine il succo è lo stesso.
Quella formula è una formula abbastanza generale che è molto utile in probabilità (l'integrale che ha scritto andrea è la versione continua di quella formula che è da applicare a questo caso).
Due righe per spigartela (nel caso discreto che è più facile ed intuitivo):
Supponi che $X$ e $Y$ sono due v.a. discrete che assumono valori $x_1,...x_m$ e $y_1,...y_n$, rispettivamente.
Prendi un generico valore di X $x_k$: $P(X=x_k)\ =\ P(X=x_k nnn uu_(j=1)^n Y=y_j)\ =\ sum_(j=1)^n P(X=x_k nnn Y=y_j)\ =$
$=\ sum_(j=1)^n P(X=x_k |Y=y_j)P(Y=y_j)\ =\ E[P(X=x_k|Y)]$
Ora nel tuo caso Y è la beta (che però è continua e quindi a media la ottieni con un integrale) e X dato Y è la binomiale
Due righe per spigartela (nel caso discreto che è più facile ed intuitivo):
Supponi che $X$ e $Y$ sono due v.a. discrete che assumono valori $x_1,...x_m$ e $y_1,...y_n$, rispettivamente.
Prendi un generico valore di X $x_k$: $P(X=x_k)\ =\ P(X=x_k nnn uu_(j=1)^n Y=y_j)\ =\ sum_(j=1)^n P(X=x_k nnn Y=y_j)\ =$
$=\ sum_(j=1)^n P(X=x_k |Y=y_j)P(Y=y_j)\ =\ E[P(X=x_k|Y)]$
Ora nel tuo caso Y è la beta (che però è continua e quindi a media la ottieni con un integrale) e X dato Y è la binomiale
La densità della $B(2,\theta)$ è $f(x|\theta)=C_{2,k}\theta^k(1-\theta)^{2-k}$ con $k=0,1,2$, dove $C_{2,k}$ è il coefficiente binomiale (non mi viene la sintassi in mathml).
Ora
$f(x)=\int_{0}^{1}C_{2,k}\theta^k(1-\theta)^{2-k}6\theta(1-\theta) d\theta$
Ora
$f(x)=\int_{0}^{1}C_{2,k}\theta^k(1-\theta)^{2-k}6\theta(1-\theta) d\theta$
Si questo l'ho capito! non capisco cosa mettere proprio "numericamente" al posto di $ f(x|theta) $ all'interno dell'integrale per calcolarmi poi la $ f(x) $ .
Cioè quanto vale la densità di $ B(2,theta) $ ?
Cioè quanto vale la densità di $ B(2,theta) $ ?
"Andrea2976":
La densità della $B(2,\theta)$ è $f(x|\theta)=C_{2,k}\theta^k(1-\theta)^{2-k}$ con $k=0,1,2$, dove $C_{2,k}$ è il coefficiente binomiale (non mi viene la sintassi in mathml).
Fai così ((2),(k)) ti restituisce $((2),(k))$ praticamente fai una matrice con una colonna e due righe.
Ah ok ho letto ora le vostre risposte! Grazie mille!!!
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