Esercizio Probabilità

[Valego1]

Sia X1,X2,....,Xn uno schema di Bernoulli di parametro p. Indichiamo con T il tempo del primo
successo e con Sn il numero di successi nelle prime n prove.

1) Calcolare la probabilità che $X_2 = 1$, sapendo che $S_3 = 2$.

io ho fatto così

$P(X_2 = 1|S_3 =2)=(P(S_3 = 2|X_2 = 1)P(X_2 = 1))/(P(S_3 = 2)) = (P(X_1+X_2+X_3 = 2|X_2 = 1)P(X_2 = 1))/(P(X_1+X_2+X_3 = 2)) = (P(X_1+X_3 = 1|X_2 = 1)P(X_2 = 1))/(P(X_1+X_2+X_3 = 2))$

DA QUA COME CONTINUO? COME FACCIO A SAPERE SE SONO INDIPENDENTI?

2)Calcolare la probabilità che $S_4 = 2$, sapendo che $T = 1$.

$P(S_4 = 2|T=1)=(P(T=1|S_4 = 2)P(S_4 = 2))/(P(T=1))$

QUA HO LO STESSO PROBLEMA.. NON SAPREI COME CONTINUARE.. PERCHè IL TEMPO DI PRIMO SUCCESSO(DISTRIBUZIONE GEOMETRICA) LO CALCOLO

$P(T=1) = p(1-p)^(k-1)$

ma sapendo che in 4 prove ho ottenuto due successi?

3) Calcolare la covarianza di $S_3$ e $T$.

$cov(S_3,T) = E(S_3*T) - E(S_3)E(T)$

faccio poi la speranza condizionata
$E(S_3*T) = E(S_3*T|S_3=0) P(S_3=0) + E(S_3*T|S_3=1) P(S_3=1) + E(S_3*T|S_3=2) P(S_3=2) +E(S_3*T|S_3=3) P(S_3=3) = E(0*T|S_3=0) P(S_3=0) + E(1*T|S_3=1) P(S_3=1) + E(2*T|S_3=2) P(S_3=2) + E(3*T|S_3=3) P(S_3=3)$

poi ad esempio per calcolarmi

$2*E(T|S_3=2)$ come lo calcolo?che valori può assumere $T$?

Graazie!

[Valego1]

nessuno?

[cenzo1]

"Valego":1) Calcolare la probabilità che $X_2 = 1$, sapendo che $S_3 = 2$.

$P(X_2 = 1|S_3 =2)=(P(S_3 = 2|X_2 = 1)P(X_2 = 1))/(P(S_3 = 2)) = (P(X_1+X_2+X_3 = 2|X_2 = 1)P(X_2 = 1))/(P(X_1+X_2+X_3 = 2)) = (P(X_1+X_3 = 1|X_2 = 1)P(X_2 = 1))/(P(X_1+X_2+X_3 = 2))$

Direi che $P(S_3=2)$ è una semplice binomiale.
Anche $P(X_1+X_3=1)$ mi risulta una binomiale con $n=2$ e $k=1$.

"Valego":2)Calcolare la probabilità che $S_4 = 2$, sapendo che $T = 1$.

$P(S_4 = 2|T=1)=(P(T=1|S_4 = 2)P(S_4 = 2))/(P(T=1))$

Direi che $P(S_4=2|T=1)=P(X_2+X_3+X_4=1)$ è un'altra binomiale con $n=3$ e $k=1$.

"Valego":3) Calcolare la covarianza di $S_3$ e $T$.

$cov(S_3,T) = E(S_3*T) - E(S_3)E(T)$

faccio poi la speranza condizionata

Penso sia più facile calcolare $E(S_3*T)=sum_k E(S_3*T|T=k)*P(T=k)$

[Valego1]

quindi posso chiamare $X_1 = T$???

in

quindi

$E(S_3*T|T=0)P(T=0)+E(S_3*T|T=1)P(T=1)=E(S_3*0|T=0)P(T=0)+E(S_3*1|T=1)P(T=1)$ e poi continuo?

[cenzo1]

"Valego":quindi posso chiamare $X_1 = T$???

No. T è il lancio di primo successo:
Se $T=1$, allora $X_1=1$
Se $T=2$, allora $X_1=0$ e $X_2=1$
Se $T=3$, allora $X_1=X_2=0$ e $X_3=1$
e così via...

La somma va quindi estesa da $k=1$ a $\infty$ ...