Esercizio Probabilità
Intanto ciao a tutti. Volevo chiedere se secondo voi era corretta la mia soluzione a questo esercizio:
In un torneo ad eliminazione diretta partecipano $2^n$ giocatori. È noto che tra essi vi è un giocatore A che sicuramente vincerà con ogni avversario, e un giocatore B che vincerà con ogni avversario eccetto A. Qual'è la probabilità che A e B si incontrino in finale ?
Soluzione:
Lo spazio campionario è (metto S perchè non so scrivere omega): $ S = $ $ {(A_1,A_2), A_1 e A_2 sono partecipanti} $.
L'evento è $ E = $$ "A incontra B al turno n " $, dove evidentemente l'n-esimo turno è la finale.
Ora la mia idea è stata di considerare l'evento complementare e calcolarne la probabilità (questo perchè mi sembrava più semplice). Naturalmente poi la probabilità di E segue dalle proprietà della probabilità.
$ bar ( E $$= "A non incontra B al turno n" $ che è equivalente a $ bar ( E $$= "A incontra B al turno 1 o al turno 2 o al turno 3 o ... o la turno n-1 " $
quindi considero l'evento $ X_k =$$"A incontra B al turno k" $ allora $ bar ( E $$= \bigcup_{k=1}^{n-1} X_k $. Inoltre gli eventi $X_k$ sono "disgiunti", infatti se A e B si incontrassero al turno k allora non si potrebbero incontrare al turno k+1 ed evidentemente non si sarebbero incontrati al turno k-1.
Allora per il 2 assioma della probabilità $P $$($$ bar ( E $$)$$= $$P(\bigcup_{k=1}^{n-1} X_k)=\sum_{k=1}^{n-1} P(X_k)$
Rimane da calcolare quindi $P(X_k)$ che è la probabilità che al turno k, A e B si incontrino.
Al turno k i possibili incontri sono $2^(n-(k-1)) - 1 $ quindi, poichè ogni incontro è equiprobabile, $P(X_k) = 1/(2^(n-(k-1)) - 1)
Possiamo quindi finalmente concludere che $P(E)$$ =$$1 - P$$($$ bar ( E $$)$$= 1 -\sum_{k=1}^{n-1} P(X_k)=1 - \sum_{k=1}^{n-1} 1/(2^(n-(k-1)) - 1)
PS Questo è quello che ho fatto io. Mi sembra una cosa un po' troppo complicata visto che ho appena iniziato questo corso quindi non so se sia corretta, comunque spero che riusciate a capire quello che ho scritto visto che è il primo messaggio che lascio. Grazie in anticipo dell'attenzione.
In un torneo ad eliminazione diretta partecipano $2^n$ giocatori. È noto che tra essi vi è un giocatore A che sicuramente vincerà con ogni avversario, e un giocatore B che vincerà con ogni avversario eccetto A. Qual'è la probabilità che A e B si incontrino in finale ?
Soluzione:
Lo spazio campionario è (metto S perchè non so scrivere omega): $ S = $ $ {(A_1,A_2), A_1 e A_2 sono partecipanti} $.
L'evento è $ E = $$ "A incontra B al turno n " $, dove evidentemente l'n-esimo turno è la finale.
Ora la mia idea è stata di considerare l'evento complementare e calcolarne la probabilità (questo perchè mi sembrava più semplice). Naturalmente poi la probabilità di E segue dalle proprietà della probabilità.
$ bar ( E $$= "A non incontra B al turno n" $ che è equivalente a $ bar ( E $$= "A incontra B al turno 1 o al turno 2 o al turno 3 o ... o la turno n-1 " $
quindi considero l'evento $ X_k =$$"A incontra B al turno k" $ allora $ bar ( E $$= \bigcup_{k=1}^{n-1} X_k $. Inoltre gli eventi $X_k$ sono "disgiunti", infatti se A e B si incontrassero al turno k allora non si potrebbero incontrare al turno k+1 ed evidentemente non si sarebbero incontrati al turno k-1.
Allora per il 2 assioma della probabilità $P $$($$ bar ( E $$)$$= $$P(\bigcup_{k=1}^{n-1} X_k)=\sum_{k=1}^{n-1} P(X_k)$
Rimane da calcolare quindi $P(X_k)$ che è la probabilità che al turno k, A e B si incontrino.
Al turno k i possibili incontri sono $2^(n-(k-1)) - 1 $ quindi, poichè ogni incontro è equiprobabile, $P(X_k) = 1/(2^(n-(k-1)) - 1)
Possiamo quindi finalmente concludere che $P(E)$$ =$$1 - P$$($$ bar ( E $$)$$= 1 -\sum_{k=1}^{n-1} P(X_k)=1 - \sum_{k=1}^{n-1} 1/(2^(n-(k-1)) - 1)
PS Questo è quello che ho fatto io. Mi sembra una cosa un po' troppo complicata visto che ho appena iniziato questo corso quindi non so se sia corretta, comunque spero che riusciate a capire quello che ho scritto visto che è il primo messaggio che lascio. Grazie in anticipo dell'attenzione.
Risposte
Benvenuto.
Secondo me, potresti suddividere il cartellone di tutti i turni in due parti. Come se lo dividessi in due, la parte destra e quella sinistra.
A questo punto basta che tu calcoli la probabilità che A e B siano in sezioni diverse.
Man mano che n aumenta la probabilità tende a $1/2$
Esempio: per n = 4, abbiamo 16 giocatori
Se fissiamo A (ad esempio) nella parte destra, abbiamo che B sta nella parte sinistra con probabilità $8/15$
ovvero:
$p=(2^(n-1))/(2^n-1)$
S.E. & O.
Secondo me, potresti suddividere il cartellone di tutti i turni in due parti. Come se lo dividessi in due, la parte destra e quella sinistra.
A questo punto basta che tu calcoli la probabilità che A e B siano in sezioni diverse.
Man mano che n aumenta la probabilità tende a $1/2$
Esempio: per n = 4, abbiamo 16 giocatori
Se fissiamo A (ad esempio) nella parte destra, abbiamo che B sta nella parte sinistra con probabilità $8/15$
ovvero:
$p=(2^(n-1))/(2^n-1)$
S.E. & O.
Se ovviamente A e B si ritroveranno al primo turno nello stesso emisfero, inevitabilmente si incontreranno prima.
Che ne pensi ?
P.s. Nel disegno ho fatto un po di casini, ma il concetto non varia... (Sorry)
Non preoccuparti il disegno è molto chiaro. 
Comunque la tua soluzione penso sia quella corretta. In effetti la mia interpretazione del gioco è che ad ogni turno le coppie di giocatori vengono sorteggiate nuovamente, come se fosse un nuovo torneo con la metà dei giocatori (non so se sono stato chiaro
); mentre la tua interpretazione (probabilmente quella giusta ) è che i turni sono già "determinati" una volta fissato il primo (come i mondiali per intenderci)
Comunque la tua soluzione penso sia quella corretta. In effetti la mia interpretazione del gioco è che ad ogni turno le coppie di giocatori vengono sorteggiate nuovamente, come se fosse un nuovo torneo con la metà dei giocatori (non so se sono stato chiaro
); mentre la tua interpretazione (probabilmente quella giusta ) è che i turni sono già "determinati" una volta fissato il primo (come i mondiali per intenderci)
"RainbowInTheDark":
... mentre la tua interpretazione (probabilmente quella giusta
Che la mia interpratazione sia quella giusta è discutibile. Solo chi organizza il torneo può decidere se procedere in un modo, o l'altro.
In ogni caso, indifferentemente dal modo, la probabilità finale dovrebbe essere sempre la stessa. Io la calcolo semplicemente guardando il primo turno, te invece devi calcolarla come prodotto tra i vari turni, quindi si complica un pò, ma il risultato finale dovrebbe rimanare invariato.
Prova a verificare la tua formula, applica, e vedi cosa ti esce ...
Sei sicuro che sia la stessa cosa 
? sono d'accordo che se il modello è uguale, allora indipendentemente dal metodo con cui la si calcola, la probabilità di un dato evento deve essere sempre la stessa, però, secondo me, la mia interpretazione è diversa dalla tua e quindi mi porta ad un risultato diverso. Effettivamente (a meno di errori di conto ) per n=4 la tua probabilità è 8/15 mentre la mia è una cosa tipo 48/105. Vuol dire che è giusto che siano diverse o che ho sbagliato il ragionamento ?
PS Comunque oggi il professore ha corretto l'esercizio e l'ha risolto esattamente come hai fatto tu
? sono d'accordo che se il modello è uguale, allora indipendentemente dal metodo con cui la si calcola, la probabilità di un dato evento deve essere sempre la stessa, però, secondo me, la mia interpretazione è diversa dalla tua e quindi mi porta ad un risultato diverso. Effettivamente (a meno di errori di conto ) per n=4 la tua probabilità è 8/15 mentre la mia è una cosa tipo 48/105. Vuol dire che è giusto che siano diverse o che ho sbagliato il ragionamento ?PS Comunque oggi il professore ha corretto l'esercizio e l'ha risolto esattamente come hai fatto tu
"RainbowInTheDark":
Vuol dire che è giusto che siano diverse o che ho sbagliato il ragionamento ?
PS Comunque oggi il professore ha corretto l'esercizio e l'ha risolto esattamente come hai fatto tu
Lascia perdere le formule, seguimi un attimo e dimmi se ti trovi:
Ritornando all'esempio con n=4 e quindi con 16 giocatori.
Per incontrarsi in finale, non devono incontrarsi in nessuno dei 3 turni preliminari:
Primo turno:
Fissiamo A in un punto qualsiasi, restano 15 giocatori (uno di questi è B).
La probabilità che sia B è $1/15$ che non sia B $14/15$
Secondo turno:
(...come sopra...)
che non sia B $6/7$
Terzo turno
che non sia B $2/3$
Prodottiamo: $p = 14/15 * 6/7 * 2/3$
Semplificando: $p = 2/15 * 2/1 * 2/1$ = $8/15$ (...vedi sopra ...)
Puoi provare anche con n=5 o n=6
Vedrai che al numeratore troverai tanti 2 per quanti sono i turni preliminari (n-1)
ed al denominatore sempre $2^n$ diminuito di una unità
Ok ok il ragionamento l'ho capito. Ma, allora, c'è un errore nella mia risoluzione visto che il risultato viene sbagliato ?
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