Esercizio probabilità
È data una v.c. $X_1$ con supporto $(0,1)$ e funzione di densità di probabilità $3(1-sqrt(x_1))$, $0
Io pensavo di risolverlo in questo modo:
Avendo la distribuzione condizionata di $X_2|x_1$ e la distribuzione marginale di $X_1$ calcolo la distribuzione congiunta come $f(x_1,x_2)=f(X_2|x_1)*f(X_1)$.
Ho difficoltà nel rappresentare il supporto. Cioè so che $X_1$ è in $(0,1)$ ma $X_2$? Io ho messo che $X_2$ è in $(sqrt(x_1),1)$ ma non sono sicuro. Qualcuno mi può spiegare nel caso il perchè ve ne sarei eternamente grato.
Infine per la probabilità basta che faccio il doppio integrale $\int_0^(1/4) int_sqrt(x_1)^(1/2) f(x_1,x_2) dx_2 dx_1$ giusto?
Io pensavo di risolverlo in questo modo:
Avendo la distribuzione condizionata di $X_2|x_1$ e la distribuzione marginale di $X_1$ calcolo la distribuzione congiunta come $f(x_1,x_2)=f(X_2|x_1)*f(X_1)$.
Ho difficoltà nel rappresentare il supporto. Cioè so che $X_1$ è in $(0,1)$ ma $X_2$? Io ho messo che $X_2$ è in $(sqrt(x_1),1)$ ma non sono sicuro. Qualcuno mi può spiegare nel caso il perchè ve ne sarei eternamente grato.
Infine per la probabilità basta che faccio il doppio integrale $\int_0^(1/4) int_sqrt(x_1)^(1/2) f(x_1,x_2) dx_2 dx_1$ giusto?
Risposte
@Arnett: Vorrei solo farti notare che la densità congiunta viene 3 e quindi non serve alcun integrale doppio per rispondere al quesito.
Infatti basta fare
$P(X_1<1/4, X_2<1/2)=3[1/8-int_0^(1/4)sqrt(x)dx]=1/8$
Che è la parte di piano del supporto che ci interessa moltiplicata per 3.... La CDF è il volume di un solido di base "Area del supporto" ed altezza costante =3. Di conseguenza per calcolare qualunque probabilità richiesta basta fare $"Area di base"xx3$
Tutto qui.
@motonic:eternamente grato? A me pare tu non abbia mai ringraziato né tantomeno risposto dicendo se hai capito o meno le risposte che ti sono SEMPRE state fornite ( sempre fornite da me, tra l'altro)
Infatti basta fare
$P(X_1<1/4, X_2<1/2)=3[1/8-int_0^(1/4)sqrt(x)dx]=1/8$
Che è la parte di piano del supporto che ci interessa moltiplicata per 3.... La CDF è il volume di un solido di base "Area del supporto" ed altezza costante =3. Di conseguenza per calcolare qualunque probabilità richiesta basta fare $"Area di base"xx3$
Tutto qui.
@motonic:eternamente grato? A me pare tu non abbia mai ringraziato né tantomeno risposto dicendo se hai capito o meno le risposte che ti sono SEMPRE state fornite ( sempre fornite da me, tra l'altro)
Mi scuso per la mia maleducazione ma avendo scritto vi ringrazio in anticipo pensavo fosse sotto inteso. Ti ringrazio davvero tanto tommik per il tuo aiuto e le tue risposte perfette. Le tue risposte sono sempre molto chiare e mi sono state davvero utili. Mi scuso ancora non volevo essere maleducato.
Stavo scherzando. Nessuno è tenuto a ringraziare. A me basta sapere che abbiate capito..
Eternamente grato poi...Mi pare un tantino esagerato
Diciamo che stai postando anche esercizi decisamente interessanti
Eternamente grato poi...Mi pare un tantino esagerato
Diciamo che stai postando anche esercizi decisamente interessanti
Ecco una cosa non ho capito, il discorso sull'inutilità dell'integrale doppio. Non ho mai visto il tuo procedimento.
Per quanto riguarda la gratitudine non scherzo
Sono alle prese con questo esame e con un professore che non è stato molto chiaro su molti aspetti quindi la gratitudine ci sta tutta
Per quanto riguarda la gratitudine non scherzo
Sono alle prese con questo esame e con un professore che non è stato molto chiaro su molti aspetti quindi la gratitudine ci sta tutta
L'integrale è necessario quando la $f(x,y)$ varia nel suo supporto ...qui è costante pari a 3. Devi calcolare il volume di un solido con altezza costante...se fai l'integrale doppio ti esce comunque ma fai più calcoli inutili.
È come se facessi un integrale per calcolare l'area di un rettangolo.....
È come se facessi un integrale per calcolare l'area di un rettangolo.....
Non capisco che procedimento hai effettuato per far si che esca in parentesi $[1/8-int_0^(1/4)sqrt(x)dx]$. Puoi mostrarmi i passaggi per favore 
Sarà anche l'orario ma non connetto più
Sarà anche l'orario ma non connetto più
No non posso. Ti devo fare un grafico ma non ho il computer. Domani
Come ti ha giustamente già spiegato @Arnett, il grafico del supporto è il seguente: l'area sopra la funzione $y=sqrt(x)$ ed al di sotto di $y=1$. Come visualizzarlo? semplicissimo.
Sai che la X è compresa fra zero ed uno....mentre la Y va da $sqrt(x)$ a 1.
Ora prima di buttarsi a fare inutili conti con integrali doppi iniziamo a calcolare la densità congiunta
$f_(XY)=3(1-sqrt(x))1/(1-sqrt(x))=3$
quindi la distribuzione congiunta è una uniforme.
Quindi $P(X<1/4,Y<1/2)$ equivale alla probabiltà della seguente area
che come puoi notare è data dal rettangolo di area $1/4*1/2$ meno l'area sotto la curva, ovvero meno $int_(0)^(1/4)sqrt(x)dx$
che è notevolemente più semplice di impostare e risolvere l'integrale doppio. $3int_(0)^(1/4)dxint_(sqrt(x))^(1/2)dy$
ora dovrebbe essere chiaro
Sai che la X è compresa fra zero ed uno....mentre la Y va da $sqrt(x)$ a 1.
Ora prima di buttarsi a fare inutili conti con integrali doppi iniziamo a calcolare la densità congiunta
$f_(XY)=3(1-sqrt(x))1/(1-sqrt(x))=3$
quindi la distribuzione congiunta è una uniforme.
Calcolare la probabilità di una uniforme bivariata significa calcolare l'area del supporto di interesse e moltiplicare il risultato per il valore della densità.
Quindi $P(X<1/4,Y<1/2)$ equivale alla probabiltà della seguente area
che come puoi notare è data dal rettangolo di area $1/4*1/2$ meno l'area sotto la curva, ovvero meno $int_(0)^(1/4)sqrt(x)dx$
che è notevolemente più semplice di impostare e risolvere l'integrale doppio. $3int_(0)^(1/4)dxint_(sqrt(x))^(1/2)dy$
ora dovrebbe essere chiaro
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