Esercizio Probabilità
Salve,
Vorrei una mano a risolvere questi esercizi:
1)Dieci infermieri decidono di partecipare ad un concorso che si svolge nell'ospedale di una piccola città dove sono presenti 13 alberghi. Ciascuno prenota una stanza in un albergo scegliendolo a caso e in maniera indipendente dagli altri. Qual'è la probabilità che finiscano tutti in alberghi diversi?
Soluzione: circa 0.0075
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2) Si consideri l'esperimento "estrazione di una biglia da un'urna che contiene 20 biglie numerate da a 1 a 20". Definiamo i seguenti eventi
A={E1;E2;E3;E5;E6;E7;}
B={E7,E8,E11,E12,E15,E16}
C={E13,E14,E15,E17,E18,E19}
D={E4,E9,E10,E20}
Dimostrare che tali eventi non costituiscono una partizione di S
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3) Nella ricerca di un certo libro, uno studente può visitare tre biblioteche. Ognuna di queste, indipendentemente dalle altre, può possedere il libro con probabilità del 50%; in questo caso, il libro può essere stato preso in prestito da un altro utente con probabilità del 50%. Trovare la probabilità che lo studente riesca ad ottenre il libro
Soluzione : Circa 0.578
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4) Due numeri vengono scelti a caso dall'insieme dei numeri {1,2,.....,n}. Qual'è la probabilità che uno di essi sia minore di k e l'altro sia maggiore di k fissato, per un intero k assegnato nell'intervallo 1
5) Il signor T. vuole spendere 4 banconote false da 100 euro confondendole insieme ad altre banconote vere. Se ha deciso di acquistare due notebook del costo di 1000 euro ciascuno e sa che il negoziante controllerà solo il 20% delle banconote usate per il pagamento, si domanda quale strategia tra le seguenti gli darà maggiore probabilità di non essere scoperto.
Le tre strategie immagine sono:
A) acquistare i due notebook insieme, pagando con 20 banconote da 100 euro di 4 false
B) Acquistare un notebook alla volta pagando ogni volta con 10 banconote di cui 2 false
C) acquistare un notebook alla volta pagando la prima volta con 10 banconote vere e la seconda volta con 6 banconote vere e 4 false
Grazie,
Davide.
Vorrei una mano a risolvere questi esercizi:
1)Dieci infermieri decidono di partecipare ad un concorso che si svolge nell'ospedale di una piccola città dove sono presenti 13 alberghi. Ciascuno prenota una stanza in un albergo scegliendolo a caso e in maniera indipendente dagli altri. Qual'è la probabilità che finiscano tutti in alberghi diversi?
Soluzione: circa 0.0075
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2) Si consideri l'esperimento "estrazione di una biglia da un'urna che contiene 20 biglie numerate da a 1 a 20". Definiamo i seguenti eventi
A={E1;E2;E3;E5;E6;E7;}
B={E7,E8,E11,E12,E15,E16}
C={E13,E14,E15,E17,E18,E19}
D={E4,E9,E10,E20}
Dimostrare che tali eventi non costituiscono una partizione di S
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3) Nella ricerca di un certo libro, uno studente può visitare tre biblioteche. Ognuna di queste, indipendentemente dalle altre, può possedere il libro con probabilità del 50%; in questo caso, il libro può essere stato preso in prestito da un altro utente con probabilità del 50%. Trovare la probabilità che lo studente riesca ad ottenre il libro
Soluzione : Circa 0.578
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4) Due numeri vengono scelti a caso dall'insieme dei numeri {1,2,.....,n}. Qual'è la probabilità che uno di essi sia minore di k e l'altro sia maggiore di k fissato, per un intero k assegnato nell'intervallo 1
5) Il signor T. vuole spendere 4 banconote false da 100 euro confondendole insieme ad altre banconote vere. Se ha deciso di acquistare due notebook del costo di 1000 euro ciascuno e sa che il negoziante controllerà solo il 20% delle banconote usate per il pagamento, si domanda quale strategia tra le seguenti gli darà maggiore probabilità di non essere scoperto.
Le tre strategie immagine sono:
A) acquistare i due notebook insieme, pagando con 20 banconote da 100 euro di 4 false
B) Acquistare un notebook alla volta pagando ogni volta con 10 banconote di cui 2 false
C) acquistare un notebook alla volta pagando la prima volta con 10 banconote vere e la seconda volta con 6 banconote vere e 4 false
Grazie,
Davide.
Risposte
Questa è la soluzione del primo.
$(13!)/(13^10*3!)$
Per gli altri, scrivi i tuoi abbozzi di risoluzione.
$(13!)/(13^10*3!)$
Per gli altri, scrivi i tuoi abbozzi di risoluzione.
"superpippone":
Questa è la soluzione del primo.
$ (13!)/(13^10*3!) $
Per gli altri, scrivi i tuoi abbozzi di risoluzione.
Come scritto sopra, questi esercizi non riesco proprio a pensare ad una soluzione. Posso chiederti il modo in cui hai ragionato per risolvere tale esercizio?
Scrivo la bozza delle mie soluzioni
2) Non so minimamente come iniziare..
3) Ho calcolato che c'è la possibilità di $1/3$ per quanto riguarda la scelta di ogni biblioteca, e di un $1/2*1/2 = 1/4$ Per quanto riguarda la probabilità che tale biblioteca possegga il libro e che non sia attualmente prenotato
Solo non so come continuare oltre.
4) L'ho pensato come ad un estrazione e ho fatto:
$(Cn-k,1*Cn-k,1)/(Cn,1) = (2(n-k)(n-k-1))/(n*(n-1))$
Tuttavia il risultato è:
$(2(n-k)(k-1))/(n*(n-1))$
5) Sono riuscito a risolverlo
il 2) serve per dividere gli umani dai primati.....basta aver presente cosa sia una partizione
E' evidente che gli eventi indicati non possono essere una partizione dato che gli insiemi A e B non sono disgiunti (entrambi contengono il termine E7)
Il 3) è il più articolato e si può risolvere graficamente, disegnando il grafo dei percorsi
ed identificando tutti i percorsi favorevoli, dal più corto di due passaggi (entro nella prima biblioteca dove hanno il testo ed e anche disponibile) al più lungo di sei passaggi (entro nella prima, il libro c'è ma non è disponibile, allora entro nella seconda, il libro c'è ma non è disponibile; infine entro nella terza il libro c'è ed è anche disponibile). I percorsi favorevoli sono in totale sette, ed ogni passaggio vale $1/2$. Dunque la soluzione è:
$1/4+1/8+1/16+1/16+1/32+1/32+1/64=37/64~= 0.578$
...oppure puoi contare tutti i percorsi sfavorevoli e calcolare la probabilità complementare, come ti trovi meglio.
Per quanto riguarda il quarto è corretto pensarlo come un''estrazione da urna e con l'utilizzo della ipergeometrica il risultato è davvero immediato. La probabilità richiesta infatti è:
$(((k-1),(1))((n-k),(1))((1),(0)))/(((n),(2)))=(2(k-1)(n-k))/(n(n-1))$
adesso sgrideranno me......
cordiali saluti
E' evidente che gli eventi indicati non possono essere una partizione dato che gli insiemi A e B non sono disgiunti (entrambi contengono il termine E7)
Il 3) è il più articolato e si può risolvere graficamente, disegnando il grafo dei percorsi
ed identificando tutti i percorsi favorevoli, dal più corto di due passaggi (entro nella prima biblioteca dove hanno il testo ed e anche disponibile) al più lungo di sei passaggi (entro nella prima, il libro c'è ma non è disponibile, allora entro nella seconda, il libro c'è ma non è disponibile; infine entro nella terza il libro c'è ed è anche disponibile). I percorsi favorevoli sono in totale sette, ed ogni passaggio vale $1/2$. Dunque la soluzione è:
$1/4+1/8+1/16+1/16+1/32+1/32+1/64=37/64~= 0.578$
...oppure puoi contare tutti i percorsi sfavorevoli e calcolare la probabilità complementare, come ti trovi meglio.
Per quanto riguarda il quarto è corretto pensarlo come un''estrazione da urna e con l'utilizzo della ipergeometrica il risultato è davvero immediato. La probabilità richiesta infatti è:
$(((k-1),(1))((n-k),(1))((1),(0)))/(((n),(2)))=(2(k-1)(n-k))/(n(n-1))$
adesso sgrideranno me......
cordiali saluti
Purtroppo ho una frattura ad una gamba che mi impedisce di poter andare a lezione, stò cercando di non rimanere indietro rispetto al mio corso e sto studiando tutto da casa, ma puoi ben capire quanto possa essere difficile seguire un corso universitario attraverso appunti di altre persone e senza la possibilità di seguire una lezione o avere delle spiegazioni.
Grazie mille per l'aiuto, capito tutto.
Grazie mille per l'aiuto, capito tutto.
Grazie ancora.
Per il terzo si poteva procedere più semplicemente.
$1-(1/2+1/2*1/2)^3=37/64$
$1-(1/2+1/2*1/2)^3=37/64$
Grazie per la soluzione. Posso chiederti come hai ragionato per arrivarci?
La probabilità che il libro, in una biblioteca, non sia nè in catalogo, nè disponibile è: $1/2+1/2*1/2=3/4$
Di conseguenza la probabilità che non lo trovi in nessuna biblioteca è: $(3/4)^3=27/64$
La probabilità che lo trovi in almeno una biblioteca è $1-27/64=37/64$
Di conseguenza la probabilità che non lo trovi in nessuna biblioteca è: $(3/4)^3=27/64$
La probabilità che lo trovi in almeno una biblioteca è $1-27/64=37/64$
Grazie mille! Ho capito il ragionamento!
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