Esercizio probabilità

[dan952]

Si dispone di un' urna contenente $n_a$ palle bianche ed $n_b$ palle nere, ed di una moneta che rende testa (T) con probabilità $p \in (0,1)$ e croce con probabilità $1-p$ ad ogni lancio. Scout e Jem effettuano il seguente gioco. Lanciano la moneta, e se esce C estraggono una palla dall'urna (reintroducendole). Il gioco termina la prima volta che esce testa.
Scout vince se alla fine si è estratto bianco almeno due volte.

1) Calcola la probabilità che vinca Scout
2) Calcolare la probabilità di aver estratto almeno 3 palle, sapendo che ha vinto Scout.
3) Se il gioco fosse effettuato con il reinserimento come cambierebbe la probabilità del 1)?
Queste che seguono sono idee di soluzione che ho avuto

1) Sia $A_i$ l'evento che esca testa la prima volta dopo l'$i-esimo$ lancio e $B$ l'evento che vengano estratte almeno due palle bianche. Affinché Scout vinca deve avvenire uno dei $A_i nn B$ eventi, dunque, per il teorema della probabilità totale $P(B nn (uu_{i} A_i))=\sum_i P(A_i)P(B|A_i)$.

2) Applico il teorema di Bayes chiamiamo $C$ l'evento che escano almeno 3 palle allora $P(C|S_v)=\frac{P(C)P(S_v|C)}{P(S_v)}$.

3) Loading...

[dan952]

Signori, qualche idea?

[xXStephXx]

Non ho capito, serve un risultato più o meno esplicito o basta esibire la notazione in quel modo?
Il primo mi quadra e dovrebbe essere $1-\sum_i p(1-p)^{i-1}((n_b/{n_a+n_b})^i + i*{n_a*n_b^{i-1}}/(n_a+n_b)^i)$.
Questo dovrebbe valere $1-(p/{1-p}{n_a+pn_b}/{n_a+n_b}+p*n_a/n_b{n_b/{n_a+n_b}}/((n_a+pn_b)/(n_a+n_b))^2)$ ma magari riguardati i conti, che la probabilità che siano giusti è meno di quella che vinca Scout in un set con solo palle nere. (ma sono riconducibili a serie geometriche, quindi si fanno).
Pure per gli altri, idee sostanzialmente nessuna, c'è solo da capire quanto espliciti vanno fatti i conti