Esercizio Probabilità
Ho un esercizio che seppur avendo la soluzione della professoressa, non riesco a capire del tutto lo svolgimento. Il testo è questo:
Due amici si trovano in coda ad uno sportello insieme ad altre $n-2$ persone.
1) Quale è la probabilità che siano separati esattamente da $k$persone?
2) Quale è la probabilità che siano separati da almeno $2$ persone?
Allora lo spazio campionario è dato da $\Omega = { \omega = (\omega_1, \omega_2) : \omega_1 != \omega_2$ e $\omega_i \in {1, .... , n}}$ perciò, la cardinalità di $\Omega = n(n-1)$.
Indico ora con $A_k$ l'evento che i $2$ amici siano separati esattamente da k persone, perciò tutto sta nel calcolarmi la cardinalità di $A_k$. In questo caso la soluzione dice di dividere il caso in due, uno dove $\omega_1 > \omega_2$ e l'altro $\omega_2 < \omega_1$, ma non ho ben capito come poi procede....
Due amici si trovano in coda ad uno sportello insieme ad altre $n-2$ persone.
1) Quale è la probabilità che siano separati esattamente da $k$persone?
2) Quale è la probabilità che siano separati da almeno $2$ persone?
Allora lo spazio campionario è dato da $\Omega = { \omega = (\omega_1, \omega_2) : \omega_1 != \omega_2$ e $\omega_i \in {1, .... , n}}$ perciò, la cardinalità di $\Omega = n(n-1)$.
Indico ora con $A_k$ l'evento che i $2$ amici siano separati esattamente da k persone, perciò tutto sta nel calcolarmi la cardinalità di $A_k$. In questo caso la soluzione dice di dividere il caso in due, uno dove $\omega_1 > \omega_2$ e l'altro $\omega_2 < \omega_1$, ma non ho ben capito come poi procede....
Risposte
nessuno?
Provo a darti una soluzione empirica.
Tra i due amici ci possono essere da $0$ a $n-2$ persone. Cioè $n-1$ possibilità.
Pertanto la probabilità che i $2$ siano separati da esattamente $k$ persone è $1/(n-1)$
Allo stesso modo la possibilità che siano separati da almeno $2$ persone è: $1-2/(n-1)$
Tra i due amici ci possono essere da $0$ a $n-2$ persone. Cioè $n-1$ possibilità.
Pertanto la probabilità che i $2$ siano separati da esattamente $k$ persone è $1/(n-1)$
Allo stesso modo la possibilità che siano separati da almeno $2$ persone è: $1-2/(n-1)$
Mmmm sì capito i risultati però, sono: nel primo caso $ (2(n-1-k))/(n(n-1)) $
e nel secondo caso = $ ((n-2)(n-3))/(n(n-1)) $
e nel secondo caso = $ ((n-2)(n-3))/(n(n-1)) $
"superpippone":
Pertanto la probabilità che i $2$ siano separati da esattamente $k$ persone è $1/(n-1)$
mi sembra strano che la probabilità non sia anche funzione di K.
Immagina che n=10 (ci sono 10 persone compresi i due amici) e k=8,
abbiamo una sola possibilità (anzi 2) ovvero che l'uno è in testa alla fila, e l'altro l'ultimo (o viceversa).
Un caso contrario è con k=0 (ovvero non si sono persone tra loro, [uno dietro l'altro])
in questo caso potrebbero essere il primo ed il secondo, ma anche il secondo/terzo ... e cosi via fino al penultimo/ultimo.
Avete ragione.
Non ho considerato le varie possibilità.
Mi scuso.
Non ho considerato le varie possibilità.
Mi scuso.
"Maryse":
Mmmm sì capito i risultati però, sono: nel primo caso $ (2(n-1-k))/(n(n-1)) $
Facciamo un esempio per cercare la soluzione.
N=10 ( i ns 2 amici + altre 8 persone)
K=0 (nessuna persona tra loro, ovvero una dietro l'altro)
---------------------------------------------------------------
Possiamo disporre la coppia in 9 posizioni diverse (n-1-k)
ovvero: [1.2] [2.3] [3.4] [4.5] [5.6] [6.7] [7.8] [8.9] [9.10]
---------------------------------------------------------------
Per ognuna delle 9 posizioni, possiamo invertire i 2 amici tra loro
---------------------------------------------------------------
Gli altri 8 possiamo disporli a ns. piacimento (n-2)!
---------------------------------------------------------------
Le disposizioni totali sono n!
---------------------------------------------------------------
La formuletta:
$((n-1-k) * 2 * (n-2)!) / (n!)$
p.s. $n!$ puoi scriverlo anche come $n * (n-1) * (n-2)!$ e quindi ottieni la soluzione del testo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo