Esercizio probabilità 1
Salve a tutti. Mi è stato assegnato questo esercizio :
Tre sentieri collegano i bivacchi A, B e C in modo che da ciascun bivacco si possa raggiungere uno qualunque degli altri due con un sentiero diretto. A causa di frane, ciascuno di essi può essere non percorribile. Sia pAB ∈ (0, 1) (rispettivamente pBC , pAC ) la probabilità con cui il sentiero che collega A con B (rispettivamente B con C, A con C) sia percorribile, ed assumiamo che lo stato di agibilità a di ciascun sentiero sia indipendente dagli altri. Vi trovate al bivacco A.
1) Calcolare la probabilità che possiate arrivare al bivacco C.b
2) Un alpinista vi ha detto che non è possibile arrivare a C per via delle frane. Calcolare la
probabilità che possiate comunque arrivare a B.
Supponiamo ora che tra A e B via siano 3 sentieri diretti, ciascuno percorribile con probabilità q indipendentemente dagli altri.
3) Calcolare le due probabilità precedenti (senza rifare tutti i calcoli).
Ho provato a ragionarci ma non arrivo ad alcuna conclusione. Qualcuno potrebbe aiutarmi per favore?
Grazie mille.
Tre sentieri collegano i bivacchi A, B e C in modo che da ciascun bivacco si possa raggiungere uno qualunque degli altri due con un sentiero diretto. A causa di frane, ciascuno di essi può essere non percorribile. Sia pAB ∈ (0, 1) (rispettivamente pBC , pAC ) la probabilità con cui il sentiero che collega A con B (rispettivamente B con C, A con C) sia percorribile, ed assumiamo che lo stato di agibilità a di ciascun sentiero sia indipendente dagli altri. Vi trovate al bivacco A.
1) Calcolare la probabilità che possiate arrivare al bivacco C.b
2) Un alpinista vi ha detto che non è possibile arrivare a C per via delle frane. Calcolare la
probabilità che possiate comunque arrivare a B.
Supponiamo ora che tra A e B via siano 3 sentieri diretti, ciascuno percorribile con probabilità q indipendentemente dagli altri.
3) Calcolare le due probabilità precedenti (senza rifare tutti i calcoli).
Ho provato a ragionarci ma non arrivo ad alcuna conclusione. Qualcuno potrebbe aiutarmi per favore?
Grazie mille.
Risposte
Io ho il tuo stesso esercizio, probabilmente, anzi quasi sicuro siamo nella stessa aula, a me vengono i seguenti risultati:
1) Consideriamo i tre eventi $E_1={$la strada diretta A-B è percorribile $}$, $E_2={$la strada diretta B-C è percorribile$}$ e $E_3={$la strada diretta A-C è percorribile$}$, affinché si possa arrivare a C si devono essere percorribili sia A-B che B-C ($E_1nn E_2$) oppure deve essere percorribile A-C ($E_3$). Dunque bisogna trovare la probabilità che si verifichi l'evento $(E_1nn E_2)uuE_3$. Dal teorema della probabilità composta si ha $p(E_1nnE_2)=p(E_1)p(E_2)$ e $p(E_1nnE_2nnE_3)=p(E_1)p(E_2)p(E_3)$ essendo $E_1$,$E_2$ e $E_3$ stocasticamente indipendenti, cioè il verificarsi di uno non influisce sulla probabilità dell' altro, dunque per il teorema della probabilità totale:
$p((E_1nnE_2) uuE_3)=p(E_1nnE_2)+p(E_3)
-p(E_1nnE_2 nnE_3)$
2) Si tratta di applicare la formula di Bayes e trovare $p((E_2 nn E_3)uu E_1 | \not ((E_1nn E_2) uu E_3 ))$.
1) Consideriamo i tre eventi $E_1={$la strada diretta A-B è percorribile $}$, $E_2={$la strada diretta B-C è percorribile$}$ e $E_3={$la strada diretta A-C è percorribile$}$, affinché si possa arrivare a C si devono essere percorribili sia A-B che B-C ($E_1nn E_2$) oppure deve essere percorribile A-C ($E_3$). Dunque bisogna trovare la probabilità che si verifichi l'evento $(E_1nn E_2)uuE_3$. Dal teorema della probabilità composta si ha $p(E_1nnE_2)=p(E_1)p(E_2)$ e $p(E_1nnE_2nnE_3)=p(E_1)p(E_2)p(E_3)$ essendo $E_1$,$E_2$ e $E_3$ stocasticamente indipendenti, cioè il verificarsi di uno non influisce sulla probabilità dell' altro, dunque per il teorema della probabilità totale:
$p((E_1nnE_2) uuE_3)=p(E_1nnE_2)+p(E_3)
-p(E_1nnE_2 nnE_3)$
2) Si tratta di applicare la formula di Bayes e trovare $p((E_2 nn E_3)uu E_1 | \not ((E_1nn E_2) uu E_3 ))$.
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