Esercizio Poisson
Salve ragazzi, avrei un piccolo problema nello svolgimento di questo esercizio di un esame recente di Calcolo delle probabilità, vi riporto il testo:
Una banca è aperta dalle 9 alle 11. ogni ora il numero di clienti che arrivano è una Poisson (10) indipendentemente da quanto succede nell'altra ora.
\(\displaystyle (a) \) Qual'è la probabilità che il numero totale di clienti arrivati alla banca sia maggiore o uguale a 15?
\(\displaystyle (b) \) In media quante persone arriveranno?
Per quando riguarda il punto \(\displaystyle (b) \) io so che la media di una Poisson è = al suo parametro \(\displaystyle λ \) per cui essendo \(\displaystyle λ = 10 \) in media arriveranno \(\displaystyle λ X 2 = 20 \) quindi arriveranno 20 persone.dovrebbe essere corretto.
Per quanto riguarda il punto \(\displaystyle (a) \) non ho la minima idea di come si risolva, qualche buon anima mi potrebbe aiutare? vi ringrazio in anticipo a tutti..
Una banca è aperta dalle 9 alle 11. ogni ora il numero di clienti che arrivano è una Poisson (10) indipendentemente da quanto succede nell'altra ora.
\(\displaystyle (a) \) Qual'è la probabilità che il numero totale di clienti arrivati alla banca sia maggiore o uguale a 15?
\(\displaystyle (b) \) In media quante persone arriveranno?
Per quando riguarda il punto \(\displaystyle (b) \) io so che la media di una Poisson è = al suo parametro \(\displaystyle λ \) per cui essendo \(\displaystyle λ = 10 \) in media arriveranno \(\displaystyle λ X 2 = 20 \) quindi arriveranno 20 persone.dovrebbe essere corretto.
Per quanto riguarda il punto \(\displaystyle (a) \) non ho la minima idea di come si risolva, qualche buon anima mi potrebbe aiutare? vi ringrazio in anticipo a tutti..
Risposte
Siano $X,Y$ le variabili aleatorie che indicano rispettivamente il numero di persone che entrano in banca nella prima e nella seconda ora. Ci chiediamo $P(X+Y \geq 15)$ sapendo che sono entrambe vere $P(X=k)=P(Y=k)=e^{-10} \cdot \frac{10^k}{k!}$. Ora abbiamo che, detta $Z=X+Y$, si ha che $P(Z=k) = \sum_{h=0}^{k}{P(X=h) \cdot P(Y=k-h)} = \sum_{h=0}^{k}[ e^{-20} \cdot \frac{10^h \cdot 10^{k-h}}{h! \cdot (k-h)!} ] = \frac{10^{k}}{e^{20} \cdot k!} \cdot sum_{h=0}^{k} \frac{k!}{h!(k-h)!} $.
Sfruttando il binomio di Newton (la somma dei binomiali fa $2^{k}$) ottengo:
$P(Z=k) = \frac{20^{k}}{e^{20} \cdot k!}$
Ovvero, la somma di due variabili aleatorie di Poisson indipendenti di parametro 10 è una variabile aleatoria di Poisson di parametro 20.
Quindi $P(Z \geq 15) = \sum_{h=15}^{+\oo}(e^{-20}\cdot \frac{20^h}{h!}) = 1 - sum_{h=0}^{14}(e^{-20} \cdot \frac{20^h}{h!})$.
Sfruttando il binomio di Newton (la somma dei binomiali fa $2^{k}$) ottengo:
$P(Z=k) = \frac{20^{k}}{e^{20} \cdot k!}$
Ovvero, la somma di due variabili aleatorie di Poisson indipendenti di parametro 10 è una variabile aleatoria di Poisson di parametro 20.
Quindi $P(Z \geq 15) = \sum_{h=15}^{+\oo}(e^{-20}\cdot \frac{20^h}{h!}) = 1 - sum_{h=0}^{14}(e^{-20} \cdot \frac{20^h}{h!})$.
ti ringrazio moltissimo,ora è tutto perfettamente chiaro! grazie di nuovo!
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