Esercizio media e densità condizionata
Ciao, mi piacerebbe capire se inizio a ragionare nel modo giusto 
La precipitazione piovosa (in mm) in un certo periodo è rappresentata da una v.a. $T$ distribuita secondo una $\Gamma(30,5)$. Se $T=t$, il numero di ombrelli $N$ venduti da un certo negozio segue una Poisson di parametro $4t$.
$a)$ Calcolare la densità di $N$;
$b)$ Calcolare $E(N)$.
Allora:
$T~\Gamma(30,5) $ ; $ N|T=t~poisson(4t)$
$a) $ $ f_N=\int_{-oo}^{+oo}f_{T,N}dt = \int_{-oo}^{+oo} f_{N|T}*f_T dt=\int_{0}^{+oo} (5^{30} * t^{29} * e^{-5t})/(\Gamma(30)) * e^{-4t} (4t^n)/(n!)dt$
Arrivato a questo punto cerco di ottenere una $\Gamma$ dentro l'integrale in modo che sia $=1$ e successivamente mi ricavo la densità $f_N$.
Non sono sicuro di aver scritto bene le due densità dentro l'integrale e mi piacerebbe capire questa cosa per evitare di portarmi avanti errori banali
$b) $ $ E(N)=E[E(N|T)]=E[4t]=4E[t]=4*6=24$
La precipitazione piovosa (in mm) in un certo periodo è rappresentata da una v.a. $T$ distribuita secondo una $\Gamma(30,5)$. Se $T=t$, il numero di ombrelli $N$ venduti da un certo negozio segue una Poisson di parametro $4t$.
$a)$ Calcolare la densità di $N$;
$b)$ Calcolare $E(N)$.
Allora:
$T~\Gamma(30,5) $ ; $ N|T=t~poisson(4t)$
$a) $ $ f_N=\int_{-oo}^{+oo}f_{T,N}dt = \int_{-oo}^{+oo} f_{N|T}*f_T dt=\int_{0}^{+oo} (5^{30} * t^{29} * e^{-5t})/(\Gamma(30)) * e^{-4t} (4t^n)/(n!)dt$
Arrivato a questo punto cerco di ottenere una $\Gamma$ dentro l'integrale in modo che sia $=1$ e successivamente mi ricavo la densità $f_N$.
Non sono sicuro di aver scritto bene le due densità dentro l'integrale e mi piacerebbe capire questa cosa per evitare di portarmi avanti errori banali
$b) $ $ E(N)=E[E(N|T)]=E[4t]=4E[t]=4*6=24$
Risposte
sì è giusto, tranne un refuso nella poisson dentro all'integrale; è $(4t)^n$ e non $ 4t^n$
la media è ok, vedo che stai imparando come trattare i valori attesi condizionati....
EDIT: non ci vuole molto per calcolare la densità (che tra l'altro è una distribuzione nota...)
$f_N(n)=((29+n),(n))(5/9)^30(4/9)^n$
$n=0,1,2,3,....$
la media è ok, vedo che stai imparando come trattare i valori attesi condizionati....
EDIT: non ci vuole molto per calcolare la densità (che tra l'altro è una distribuzione nota...)
$f_N(n)=((29+n),(n))(5/9)^30(4/9)^n$
$n=0,1,2,3,....$
Non ho capito, come hai fatto ad arrivare a quella densità? 
"tommik":
EDIT: non ci vuole molto per calcolare la densità....
$ f_N(n)=((29+n),(n))(5/9)^30(4/9)^n $
$ n=0,1,2,3,.... $
Esattamente come hai spiegato tu nel tuo precedente topic... riconducendosi al nucleo di una gamma che, nel caso in esame è il seguente
[size=150]
moltiplica e dividi per ciò che serve, porta fuori dall'integrale ciò che non serve, semplifica un po' ed hai finito.
Dai è un buon esercizio....ovviamente se proprio non riesci intervengo
PS: sono tutti esercizi davvero interessanti, che cosa studi?
[size=150]
$t^(29+n)e^(-9t)=t^[(30+n)-1]e^(-9t)$
[/size]moltiplica e dividi per ciò che serve, porta fuori dall'integrale ciò che non serve, semplifica un po' ed hai finito.
Dai è un buon esercizio....ovviamente se proprio non riesci intervengo
PS: sono tutti esercizi davvero interessanti, che cosa studi?
Ciao tommik, scusa se rispondo così in ritardo ma proprio ieri ho sostenuto l'esame 
Passato con 26
Volevo ringraziarti, per l'n-esima volta, per l'aiuto che mi hai dato in questo topic e nei precedenti! Grazie grazie grazie!
Comunque:
Studio ingegneria dell'informazione all'università di L'Aquila e stavo preparando l'esame di calcolo delle probabilità.
Passato con 26 Volevo ringraziarti, per l'n-esima volta, per l'aiuto che mi hai dato in questo topic e nei precedenti! Grazie grazie grazie!
Comunque:
"tommik":
PS: sono tutti esercizi davvero interessanti, che cosa studi?
Studio ingegneria dell'informazione all'università di L'Aquila e stavo preparando l'esame di calcolo delle probabilità.
Riprendo questo post che @tommik gentilmente mi ha segnalato (e che stranamente ho quasi svolto correttamente).
So che
Pongo $4t=x$ e moltiplico e divido per $4/9$:
Ora so che:
- $\int_(0)^(+\infty)9/4x^(29+i)e^(-9/4x)dx=\Gamma(30+i)=(29+i)!$
- $\Gamma(30)=29! =(29+i-i)!$
Allora ottengo
Come ottieni quel $9$ al denominatore e quell'$n$ al numeratore?
EDIT: Prontamente editato. Mi ero autoimposto di non guardare la risposta. In ogni caso per risolverlo ho posto $4t=x$, quindi non ha inciso sul risultato.
So che
$\mathbb(P)(N=i|T=t)=(\mathbb(P)((N=i,T=t)))/(\mathbb(P)(T=t))rArr \mathbb(P)(T=t)\mathbb(P)(N=i|T=t)$
$rArr \int_(0)^(+\infty)(5^30)/(\Gamma(30))t^29e^(-5t)xx (e^(-4t)(4t)^i)/(i!)=(5^30)/(\Gamma(30))\int_(0)^(+\infty)t^29e^(-4t)e^(-t)xx (e^(-4t)(4t)^i)/(i!)$
Pongo $4t=x$ e moltiplico e divido per $4/9$:
$=(5^30)/(\Gamma(30))\int_(0)^(+\infty)(x/4)^29e^(-x)e^(-x/4)(e^(-x)x^i)/(i!)\cdot 1/4dx=(5^30)/(\Gamma(30))\cdot 1/(4^30)\cdot 1/(i!)\cdot 4/9\int_(0)^(+\infty)9/4x^(29+i)e^(-9/4x)dx$
Ora so che:
- $\int_(0)^(+\infty)9/4x^(29+i)e^(-9/4x)dx=\Gamma(30+i)=(29+i)!$
- $\Gamma(30)=29! =(29+i-i)!$
Allora ottengo
$=((29+i)!)/(i!(29!))(5/4)^30(4/9)=( (29+i), (i) )(5/4)^30(4/9) $
Come ottieni quel $9$ al denominatore e quell'$n$ al numeratore?
EDIT: Prontamente editato. Mi ero autoimposto di non guardare la risposta. In ogni caso per risolverlo ho posto $4t=x$, quindi non ha inciso sul risultato.
"tommik":
sì è giusto, tranne un refuso nella poisson dentro all'integrale; è $(4t)^n$ e non $ 4t^n$
stesso errore fatto dall'utente originale....EDIT: più altri...
sono sempre gli stessi due passaggi....
$int_(0)^(+oo) 5^30/(Gamma(30))t^(30-1)e^(-9t)(4^nt^n)/(n!) dt=$
$=(4^n 5^30 Gamma(30+n))/(n! Gamma(30) 9^(30+n) )xx int_(0)^(+oo)f(t)dt=(4^n 5^30 Gamma(30+n))/(n! Gamma(30) 9^(30+n) )$
Dato che dentro all'integrale ora c'è una densità Gamma che, integrata su tutto il dominio, fa uno.
semplifchi....ottieni dunque una distribuzione nota che conta...?
Beh, l'esercizio era svolto correttamente solo che anziché porre $9t=x$ ho spezzato l'$e^(-5t)=e^(-4t)e^(-t)$ e ho posto $4t=x$. Credevo che il risultato potesse venire ugualmente ma a quanto pare non è così.
Una binomiale di parametri $(59,30)$
"tommik":
....ottieni dunque una distribuzione nota che conta...?
Una binomiale di parametri $(59,30)$
Risulta correttamente anche come volevi fare tu...ma occorre fare bene tutti i conti ed i passaggi per arrivare al risultato si moltiplicano....
$mathbb{P}[N=n]=((29+n),(n))(4/9)^n(5/9)^30$
$n=0,1,2,...oo$
non mi pare proprio una binomiale
hai inventato una nuova binomiale....con un parametro $p>1$
la distribuzione è questa, basta scrivere $29+n=30+n-1$ ed è una binomiale negativa, una distribuzione discreta che conta il numero di fallimenti necessari ad avere 30 successi
$mathbb{P}[N=n]=((29+n),(n))(4/9)^n(5/9)^30$
$n=0,1,2,...oo$
non mi pare proprio una binomiale
"mobley":
Una binomiale di parametri $(59,30)$
hai inventato una nuova binomiale....con un parametro $p>1$
la distribuzione è questa, basta scrivere $29+n=30+n-1$ ed è una binomiale negativa, una distribuzione discreta che conta il numero di fallimenti necessari ad avere 30 successi
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