Esercizio lancio moneta
Ciao a tutti, ho un problema con un esercizio di probabilità.
Si lancia 6 volte una moneta, qual'è la probabilità che escano almeno due teste consecutive?
Chiamando con $A_i$ = allo i-esimo lancio ottengo testa.
La soluzione dovrebbe essere :
($A_1$ $nn$ $A_2$)$uu$($A_2$ $nn$ $A_3$)$uu$($A_3$ $nn$ $A_4$)$uu$($A_4$ $nn$ $A_5$)$uu$($A_5$ $nn$ $A_6$)
essendo eventi indipendenti l'intersezione degli eventi dovrebbe essere uguale alla loro moltiplicazione, mentre l'unione alla loro somma. Ma il risultato non mi viene. Qualcuno mi può aiutare. Grazie
Si lancia 6 volte una moneta, qual'è la probabilità che escano almeno due teste consecutive?
Chiamando con $A_i$ = allo i-esimo lancio ottengo testa.
La soluzione dovrebbe essere :
($A_1$ $nn$ $A_2$)$uu$($A_2$ $nn$ $A_3$)$uu$($A_3$ $nn$ $A_4$)$uu$($A_4$ $nn$ $A_5$)$uu$($A_5$ $nn$ $A_6$)
essendo eventi indipendenti l'intersezione degli eventi dovrebbe essere uguale alla loro moltiplicazione, mentre l'unione alla loro somma. Ma il risultato non mi viene. Qualcuno mi può aiutare. Grazie
Risposte
"almeno" non vuol dire "esattamente"
lo so, non mi pare ci sia l'errore in cio che ho scritto
Non so se esiste una formula per effettuare il conteggio.
Se c'è dev'essere alquanto complessa...
Io ho sviluppato "brutalmente" le varie possibilità, e poi ho contato i casi favorevoli.
Mi viene $43/64$.
Se c'è dev'essere alquanto complessa...
Io ho sviluppato "brutalmente" le varie possibilità, e poi ho contato i casi favorevoli.
Mi viene $43/64$.
"manfrf":
lo so, non mi pare ci sia l'errore in cio che ho scritto
lo saprai anche,ma hai calcolato la probabilità che escano esattamente 2 teste consecutive
"stormy":
[quote="manfrf"]lo so, non mi pare ci sia l'errore in cio che ho scritto
lo saprai anche,ma hai calcolato la probabilità che escano esattamente 2 teste consecutive[/quote]
Non capisco perchè insistere tanto. Quello che ho scritto è giusto! L'evento esattamente due teste è ben diverso da ciò che ho scritto
"superpippone":
Non so se esiste una formula per effettuare il conteggio.
Se c'è dev'essere alquanto complessa...
Io ho sviluppato "brutalmente" le varie possibilità, e poi ho contato i casi favorevoli.
Mi viene $43/64$.
Grazie per la risposta il risultato è giusto, lo avevo ttovato anche io cosi, ma volevo trovare un modo "algebrico" per arrivarci
Ho provato a fare in altra maniera, senza scrivere tutto.
Se le teste sono 6, i casi favorevoli sono 1 (su 1).
Se le teste sono 5, i casi favorevoli sono 6 (su 6).
Se le teste sono 4, i casi favorevoli sono 15 (su 15).
Se le teste sono 3, i casi favorevoli sono 16 (su 20).
Se le teste sono 2, i casi favorevoli sono 5 (su 15).
Se le teste sono 1, i casi favorevoli sono 0 (su 6).
Se le teste sono 0, i casi favorevoli sono 0 (su 1).
Totale $43/64$
Ma non è che cambi poi tanto.
Per curiosità, la formula che hai scritto tu, che risultato ti dà?
Se le teste sono 6, i casi favorevoli sono 1 (su 1).
Se le teste sono 5, i casi favorevoli sono 6 (su 6).
Se le teste sono 4, i casi favorevoli sono 15 (su 15).
Se le teste sono 3, i casi favorevoli sono 16 (su 20).
Se le teste sono 2, i casi favorevoli sono 5 (su 15).
Se le teste sono 1, i casi favorevoli sono 0 (su 6).
Se le teste sono 0, i casi favorevoli sono 0 (su 1).
Totale $43/64$
Ma non è che cambi poi tanto.
Per curiosità, la formula che hai scritto tu, che risultato ti dà?
"manfrf":
[quote="stormy"][quote="manfrf"]lo so, non mi pare ci sia l'errore in cio che ho scritto
lo saprai anche,ma hai calcolato la probabilità che escano esattamente 2 teste consecutive[/quote]
Non capisco perchè insistere tanto. Quello che ho scritto è giusto! L'evento esattamente due teste è ben diverso da ciò che ho scritto[/quote]
ah,cett cett
"manfrf":
Ciao a tutti, ho un problema con un esercizio di probabilità.
Si lancia 6 volte una moneta, qual'è la probabilità che escano almeno due teste consecutive?
Ci possiamo far aiutare da Fibonacci,
se sottraiamo dai casi possibili (2^n), Fibonacci+2.
Che ragionamento hai utilizzato? Comunque io avevo provato con la legge delle probabilita totali, ma è un calcolo lunghissimo
Nel lancio di una moneta N volte, lo spazio campionario è costituito da 2^N esiti (sequenze di teste e croci)
Qual è il numero di esiti che contengono almeno 8 T consecutive per N=100 lanci (e K teste "consecutive" per N>K)?
E qual è il numero minimo di lanci che consentono di avere una probabilità superiore al 50% di osservare almeno 8 T consecutive?
A) Esaminiamo queste formule ricorsive:
Sia P(n) la probabilita' di ottenere k teste consecutive in n lanci, allora si ha:
se n < k:
P(n) = 0
se n = k:
P(k) = 1/2^k
se n > k:
P(n + 1) =
(1) P(n) + 1/2 * 1/2^(k-1) * 1/2 * (1 - P(n - k)) = P(n) + 1/2^(k + 1) * (1 - P(n - k))
questo perche' aggiungendo 1 lancio agli n gia' presenti, k teste si possono ottenere negli n lanci gia' presenti (termine additivo P(n) nella (1)) o si possono ottenere se il primo lancio e i (k-1) successivi danno testa (fattore 1/2 * 1 / 2^(k-1) nel secondo termine della (1)), il (k+1)esimo da' croce (fattore 1/2 nel secondo termine della (1)) e nei rimanenti (n-k) lanci non si ottengono k teste consecutive (fattore (1 - P(n - k)) nel secondo termine della (1)).
Volendo ottenere il numero di esiti favorevoli basta moltiplicare le probabilita' per 2^n.
Esempio:
per k = 2 min. consecutive e n=4 lanci (16 casi)
si ottiene:
P(0) = 0
P(1) = 0
P(2) = 1 / 2^k = 1/4 ........... TT
P(3) = P(2) + 1/2^(k + 1) * (1 - P(2 - k)) = 3/8 ........... TTC; CTT; TTT
P(4) = P(3) + 1/2^(k + 1) * (1 - P(3 - k)) = 1/2 ........... TTCC; CTTC; CCTT; TTTC; TTCT; TCTT; CTTT; TTTT
Vediamo adesso di calcolare la probabilità di avere al minimo 8 teste consecutive in 100 lanci di una moneta bilanciata. Ovviamente, il procedimento vale per qualsiasi consecutività e qualsiasi numero totale di lanci:
La soluzione, come tutte le probabilità è data dai casi favorevoli sui casi possibili.
In questo caso si ottiene sommando la probabilità che l'evento 8 teste accada all'ottavo lancio (1/256), alla probabilità che accada al nono lancio (1/512), al decimo (1/512) e così via fino al centesimo. La somma di questi 93 addendi dà la probabilità, che è 17,0208%.
Ovviamente un foglio excel aiuta molto nei calcoli.
Procediamo:
Poniamo nella colonna A il numero dei lanci (N=100), cioè: A1=1; A2=A1+1; copiamo da A2 a A100.
Nella colonna B (se la consecutività è =8), digitiamo: B1=0; B2=0; ...; B7=0; B8=1; B9=SOMMA(B1:B8); copiamo da B9 a B100
Nota:
in questa colonna vanno messi i casi favorevoli (che ci siano X teste consecutive) ai relativi lanci: quindi A1=casi favorevoli al primo lancio e così via A100=casi favorevoli al 100esimo lancio.
Questa sequenza, in cui occorre evitare ripetizioni , corrisponde ai numeri tipo Fibonacci.
La regola è:
a(0,.......,X-2)=0
a(X-1)=1
a (n)=Sum(i=1,...,X)a(n-i)
Nel caso X=8, i numeratori sono i numeri octanacci (serie A079262 dell'enciclopedia delle sequenze di numeri interi) e cioè: 0-0-0-0-0-0-0-1-1-2-4-8-16-32-64-128-255-509....
Infatti, all’ottavo lancio (casella A8) si ha il primo caso favorevole (8 teste). Adesso, dato che ad ogni lancio si generano un numero di casi favorevoli pari alla somma dei casi favorevoli riscontrati negli 8 lanci precedenti, alla casella A9 si deve immettere la funzione =somma da A1 ad A8. Ogni termine è quindi pari alla somma degli 8 valori precedenti. E così fino alla riga 100.
Nella colonna C vanno i denominatori delle frazioni, che sono i casi di teste e croci che si possono avere da 0 a N lanci, che sono 2 per 1 lancio, 4 per 2 lanci, ecc...; cioè le potenze del 2, da 2^1 a 2^N.
Scriviamo: C1=2^A1; copiamo da C1 a C100
Nella colonna D sono calcolate le probabilità parziali: D1=B1/C1; copiamo da D1 a D100
In E1 digitando =SOMMA(D1: D100) comparirà il risultato, cioè la probabilità di avere almeno una serie di 8 teste in 100 lanci, che è 0,170208.
Il procedimento è sempre valido per cui se avessimo dovuto calcolare la probabilità che ci fossero almeno 5 teste consecutive avremmo avuto le prime 4 caselle di 0 alla quinta il numero 1 e dalla sesta in avanti la funzione somma dei 5 valori precedenti.
Sempre con un foglio excel, si può anche utilizzare un altro metodo (che se interessa posterò in seguito).
Qual è il numero di esiti che contengono almeno 8 T consecutive per N=100 lanci (e K teste "consecutive" per N>K)?
E qual è il numero minimo di lanci che consentono di avere una probabilità superiore al 50% di osservare almeno 8 T consecutive?
A) Esaminiamo queste formule ricorsive:
Sia P(n) la probabilita' di ottenere k teste consecutive in n lanci, allora si ha:
se n < k:
P(n) = 0
se n = k:
P(k) = 1/2^k
se n > k:
P(n + 1) =
(1) P(n) + 1/2 * 1/2^(k-1) * 1/2 * (1 - P(n - k)) = P(n) + 1/2^(k + 1) * (1 - P(n - k))
questo perche' aggiungendo 1 lancio agli n gia' presenti, k teste si possono ottenere negli n lanci gia' presenti (termine additivo P(n) nella (1)) o si possono ottenere se il primo lancio e i (k-1) successivi danno testa (fattore 1/2 * 1 / 2^(k-1) nel secondo termine della (1)), il (k+1)esimo da' croce (fattore 1/2 nel secondo termine della (1)) e nei rimanenti (n-k) lanci non si ottengono k teste consecutive (fattore (1 - P(n - k)) nel secondo termine della (1)).
Volendo ottenere il numero di esiti favorevoli basta moltiplicare le probabilita' per 2^n.
Esempio:
per k = 2 min. consecutive e n=4 lanci (16 casi)
si ottiene:
P(0) = 0
P(1) = 0
P(2) = 1 / 2^k = 1/4 ........... TT
P(3) = P(2) + 1/2^(k + 1) * (1 - P(2 - k)) = 3/8 ........... TTC; CTT; TTT
P(4) = P(3) + 1/2^(k + 1) * (1 - P(3 - k)) = 1/2 ........... TTCC; CTTC; CCTT; TTTC; TTCT; TCTT; CTTT; TTTT
Vediamo adesso di calcolare la probabilità di avere al minimo 8 teste consecutive in 100 lanci di una moneta bilanciata. Ovviamente, il procedimento vale per qualsiasi consecutività e qualsiasi numero totale di lanci:
La soluzione, come tutte le probabilità è data dai casi favorevoli sui casi possibili.
In questo caso si ottiene sommando la probabilità che l'evento 8 teste accada all'ottavo lancio (1/256), alla probabilità che accada al nono lancio (1/512), al decimo (1/512) e così via fino al centesimo. La somma di questi 93 addendi dà la probabilità, che è 17,0208%.
Ovviamente un foglio excel aiuta molto nei calcoli.
Procediamo:
Poniamo nella colonna A il numero dei lanci (N=100), cioè: A1=1; A2=A1+1; copiamo da A2 a A100.
Nella colonna B (se la consecutività è =8), digitiamo: B1=0; B2=0; ...; B7=0; B8=1; B9=SOMMA(B1:B8); copiamo da B9 a B100
Nota:
in questa colonna vanno messi i casi favorevoli (che ci siano X teste consecutive) ai relativi lanci: quindi A1=casi favorevoli al primo lancio e così via A100=casi favorevoli al 100esimo lancio.
Questa sequenza, in cui occorre evitare ripetizioni , corrisponde ai numeri tipo Fibonacci.
La regola è:
a(0,.......,X-2)=0
a(X-1)=1
a (n)=Sum(i=1,...,X)a(n-i)
Nel caso X=8, i numeratori sono i numeri octanacci (serie A079262 dell'enciclopedia delle sequenze di numeri interi) e cioè: 0-0-0-0-0-0-0-1-1-2-4-8-16-32-64-128-255-509....
Infatti, all’ottavo lancio (casella A8) si ha il primo caso favorevole (8 teste). Adesso, dato che ad ogni lancio si generano un numero di casi favorevoli pari alla somma dei casi favorevoli riscontrati negli 8 lanci precedenti, alla casella A9 si deve immettere la funzione =somma da A1 ad A8. Ogni termine è quindi pari alla somma degli 8 valori precedenti. E così fino alla riga 100.
Nella colonna C vanno i denominatori delle frazioni, che sono i casi di teste e croci che si possono avere da 0 a N lanci, che sono 2 per 1 lancio, 4 per 2 lanci, ecc...; cioè le potenze del 2, da 2^1 a 2^N.
Scriviamo: C1=2^A1; copiamo da C1 a C100
Nella colonna D sono calcolate le probabilità parziali: D1=B1/C1; copiamo da D1 a D100
In E1 digitando =SOMMA(D1: D100) comparirà il risultato, cioè la probabilità di avere almeno una serie di 8 teste in 100 lanci, che è 0,170208.
Il procedimento è sempre valido per cui se avessimo dovuto calcolare la probabilità che ci fossero almeno 5 teste consecutive avremmo avuto le prime 4 caselle di 0 alla quinta il numero 1 e dalla sesta in avanti la funzione somma dei 5 valori precedenti.
Sempre con un foglio excel, si può anche utilizzare un altro metodo (che se interessa posterò in seguito).
grazie mille!! quale sarebbe il secondo metodo? e per il punto b) ?
Ecco qui.
La spiegazione non è rigorosa, mi auguro sia comunque comprensibile.
L'unica cosa che interessa sapere in ogni momento è quante teste consecutive sono uscite negli ultimi lanci.
Se la consecutività X è =8, gli stati possibili del sistema sono 9:
T0 = ..C
T1 = ..CT
T2 = ..CTT
T3 = ..CTTT
T4 = ..CTTTT
T5 = ..CTTTTT
T6 = ..CTTTTTT
T7 = ..CTTTTTTT
T8 = ..CTTTTTTTT
Arrivati in T8 abbiamo raggiunto lo scopo.
La probabilità di finire dopo N passi nello stato T8 partendo da Ti (i=0,1,2,3,4,5,6,7,8) è P_N(i).
All'inizio (primo lancio), P1(i) è = 0 fino a P1(7), che è =0,5, e P1(8)=1.
Poi, partendo da un certo stato, al 50% finiamo nello stato successivo e al 50% torniamo in T0.
Facciamo i calcoli con un foglio excel.
-Nella colonna A inseriamo il numero dei lanci. A1=1; A2=A1+1; copiare da A2 a A100 (o fino al numero di lanci che si vuole)
-Nelle colonne successive (da B a L) vanno messe le 9 probabilità P_N(i) relative agli stati con, rispettivamente:
B = 8 o più teste (qui troveremo il risultato finale)
C = 7 teste
D = 6 teste
E = 5 teste
F = 4 teste
G = 3 teste
H = 2 teste
I = 1 testa
L = stato iniziale T0: questa colonna va riempita con tutti 1, in quanto rappresenta le condizioni qualora dovesse uscire nel lancio in esame testa.
Alla prima riga dovremo inserire le probabilità di avere 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 teste
B1=0; C1=0; D1=0; E1=0; F1=0; G1=0; H1=0; I1=0,5
Perché in I1 mettiamo 0,5? Perché al primo lancio, la probabilità di avere 1 testa è il 50% (mentre quella di avere più teste è ovviamente zero)
Adesso, attenzione! In ciascuna casella della seconda riga dobbiamo inserire la funzione che calcola la probabilità nel seguente modo: 0,5*probabilità che c'era nella casella superiore spostata di una colonna a destra (cioè con una testa in meno) + 0,5*probabilità che c'era nella casella superiore della colonna B: infatti, il valore della probabilità sarà il 50% della probabilità precedente con una testa in meno (se esce testa) + il 50% della probabilità precedente della colonna con 8 teste (se esce croce).
Quindi:
B2=0,5*C1+0,5*B1
C2=0,5*D1+0,5*B1
D2=0,5*E1+0,5*B1
E2=0,5*F1+0,5*B1
F2=0,5*G1+0,5*B1
G2=0,5*H1+0,5*B1
H2=0,5*I1+0,5*B1
I2=0,5*L1+0,5*B1
Per completare la tabella, è sufficiente fare un copia-incolla delle formule precedenti (da B2 a I2) fino in fondo (alla riga 100 o più, se si vuole vedere la probabilità dopo più di 100 lanci).
La tabella si riempirà di numeri e il nostro risultato (probabilità di avere minimo 8T in 100 lanci) si trova nella casella B100 (0,170208).
Chi vuole, può provare con altre consecutività;
Ad esempio, la probabilità (sempre con 100 lanci):
3 o più teste consecutive = 99,97%
4 o più teste consecutive = 97,27%
5 o più teste consecutive = 81,011%
6 o più teste consecutive = 54,6094%
7 o più teste consecutive = 31,752%
8 o più teste consecutive = 17,0208%
9 o più teste consecutive = 8,756%
10 o più teste consecutive = 4,414%
Proseguendo con lo stesso criterio (aumentando i lanci), si vede che con 355 lanci della moneta, la probabilità di avere 8 o più teste consecutive è 49,998%, mentre con 356 lanci si supera il 50% (50,0972)
La spiegazione non è rigorosa, mi auguro sia comunque comprensibile.
L'unica cosa che interessa sapere in ogni momento è quante teste consecutive sono uscite negli ultimi lanci.
Se la consecutività X è =8, gli stati possibili del sistema sono 9:
T0 = ..C
T1 = ..CT
T2 = ..CTT
T3 = ..CTTT
T4 = ..CTTTT
T5 = ..CTTTTT
T6 = ..CTTTTTT
T7 = ..CTTTTTTT
T8 = ..CTTTTTTTT
Arrivati in T8 abbiamo raggiunto lo scopo.
La probabilità di finire dopo N passi nello stato T8 partendo da Ti (i=0,1,2,3,4,5,6,7,8) è P_N(i).
All'inizio (primo lancio), P1(i) è = 0 fino a P1(7), che è =0,5, e P1(8)=1.
Poi, partendo da un certo stato, al 50% finiamo nello stato successivo e al 50% torniamo in T0.
Facciamo i calcoli con un foglio excel.
-Nella colonna A inseriamo il numero dei lanci. A1=1; A2=A1+1; copiare da A2 a A100 (o fino al numero di lanci che si vuole)
-Nelle colonne successive (da B a L) vanno messe le 9 probabilità P_N(i) relative agli stati con, rispettivamente:
B = 8 o più teste (qui troveremo il risultato finale)
C = 7 teste
D = 6 teste
E = 5 teste
F = 4 teste
G = 3 teste
H = 2 teste
I = 1 testa
L = stato iniziale T0: questa colonna va riempita con tutti 1, in quanto rappresenta le condizioni qualora dovesse uscire nel lancio in esame testa.
Alla prima riga dovremo inserire le probabilità di avere 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 teste
B1=0; C1=0; D1=0; E1=0; F1=0; G1=0; H1=0; I1=0,5
Perché in I1 mettiamo 0,5? Perché al primo lancio, la probabilità di avere 1 testa è il 50% (mentre quella di avere più teste è ovviamente zero)
Adesso, attenzione! In ciascuna casella della seconda riga dobbiamo inserire la funzione che calcola la probabilità nel seguente modo: 0,5*probabilità che c'era nella casella superiore spostata di una colonna a destra (cioè con una testa in meno) + 0,5*probabilità che c'era nella casella superiore della colonna B: infatti, il valore della probabilità sarà il 50% della probabilità precedente con una testa in meno (se esce testa) + il 50% della probabilità precedente della colonna con 8 teste (se esce croce).
Quindi:
B2=0,5*C1+0,5*B1
C2=0,5*D1+0,5*B1
D2=0,5*E1+0,5*B1
E2=0,5*F1+0,5*B1
F2=0,5*G1+0,5*B1
G2=0,5*H1+0,5*B1
H2=0,5*I1+0,5*B1
I2=0,5*L1+0,5*B1
Per completare la tabella, è sufficiente fare un copia-incolla delle formule precedenti (da B2 a I2) fino in fondo (alla riga 100 o più, se si vuole vedere la probabilità dopo più di 100 lanci).
La tabella si riempirà di numeri e il nostro risultato (probabilità di avere minimo 8T in 100 lanci) si trova nella casella B100 (0,170208).
Chi vuole, può provare con altre consecutività;
Ad esempio, la probabilità (sempre con 100 lanci):
3 o più teste consecutive = 99,97%
4 o più teste consecutive = 97,27%
5 o più teste consecutive = 81,011%
6 o più teste consecutive = 54,6094%
7 o più teste consecutive = 31,752%
8 o più teste consecutive = 17,0208%
9 o più teste consecutive = 8,756%
10 o più teste consecutive = 4,414%
Proseguendo con lo stesso criterio (aumentando i lanci), si vede che con 355 lanci della moneta, la probabilità di avere 8 o più teste consecutive è 49,998%, mentre con 356 lanci si supera il 50% (50,0972)
Per curiosità possiamo stimare il numero di teste (o croci) consecutive che si presentano con la massima probabilità dopo n lanci di una moneta equilibrata.
Numero_CONSECUTIVITA'_TESTE=RITARDO_CROCE (o viceversa)= Logaritmo_naturale(N_lanci)/Logaritmo_naturale(2)*
Ad esemipo:
10 lanci = 3,3 consecutività
50 lanci = 5,6 consecutività
100 lanci = 6,6 consecutività
500 lanci = 9 consecutività
1000 lanci = 10 consecutività
ecc...
* 2 è l'inverso della probabilità di ottenere croce
Numero_CONSECUTIVITA'_TESTE=RITARDO_CROCE (o viceversa)= Logaritmo_naturale(N_lanci)/Logaritmo_naturale(2)*
Ad esemipo:
10 lanci = 3,3 consecutività
50 lanci = 5,6 consecutività
100 lanci = 6,6 consecutività
500 lanci = 9 consecutività
1000 lanci = 10 consecutività
ecc...
* 2 è l'inverso della probabilità di ottenere croce
Interessante. Non appena avrò tempo gli darò un'occhiata con calma.
Comunque il primo ragionamento usa come tecnica una equazione ricorsiva;
Il secondo può essere inquadrato nella teoria delle catene di Markov.
Un'altra domanda interessante è il valore atteso del numero di lanci effettuati per ottenere la stringa.
Comunque il primo ragionamento usa come tecnica una equazione ricorsiva;
Il secondo può essere inquadrato nella teoria delle catene di Markov.
Un'altra domanda interessante è il valore atteso del numero di lanci effettuati per ottenere la stringa.
"DajeForte":
Comunque il primo ragionamento usa come tecnica una equazione ricorsiva;
Il secondo può essere inquadrato nella teoria delle catene di Markov.
Esattamente
"manfrf":
Che ragionamento hai utilizzato? Comunque io avevo provato con la legge delle probabilita totali, ma è un calcolo lunghissimo
Più o meno i quesiti si somigliano tra loro, e spesso si riconducono sempre a Tartaglia o Fibonacci.
Nello specifico, se vedi il ragionamento di Pippone, e lo inverti (ovvero cercando i casi sfavorevoli) otterrai una sequenza del tipo 4,10,6,1 (si tratta di una diagonale di Tartaglia), e si sa che i Fibonacci, possono essere ricavati proprio dalle diagonali di T. (vedi fig.)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo