[Esercizio] Lanci di monete ed eventi indipendenti

[retrocomputer]

Ho questo esercizio che vorrei risolvere senza l'uso di variabili aleatorie e/o distribuzioni (non ho nemmeno pensato se si possa fare così):

Lancio 3 volte una moneta equilibrata e considero i due eventi $A$ "le facce uscite sono tutte uguali" e $B$ "al più una faccia è TESTA":
1) dire se gli eventi $A$ e $B$ sono indipendenti;
2) dire se gli eventi $A$ e $B$ sono indipendenti nel caso che la moneta non sia equilibrata.

Per la soluzione avrei pensato di definire gli eventi $T_i$ "TESTA all'i-esimo lancio" e scrivere $A$ e $B$ in termini di questi ultimi:

$A=(T_1\cap T_2\cap T_3)\cup (T_1^c\cap T_2^c\cap T_3^c)$
$B=(T_1^c\cap T_2^c\cap T_3^c)\cup (T_1\cap T_2^c\cap T_3^c)\cup (T_1^c\cap T_2\cap T_3^c)\cup (T_1^c\cap T_2^c\cap T_3)$

e calcolare le probabilità sapendo che le unioni sono disgiunte e gli eventi $T_i$ indipendenti.
Chiamerei $p=P(T_i)$ e proverei a risolvere l'equazione in $p$ che ottengo dalla relazione $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

Il procedimento è giusto? Vado avanti? Avete qualche idea migliore?

[hamming_burst]

Ciao retrò

"retrocomputer":
$A=(T_1\cap T_2\cap T_3)\cup (T_1^c\cap T_2^c\cap T_3^c)$
$B=(T_1^c\cap T_2^c\cap T_3^c)\cup (T_1\cap T_2^c\cap T_3^c)\cup (T_1^c\cap T_2\cap T_3^c)\cup (T_1^c\cap T_2^c\cap T_3)$

direi ok.

e calcolare le probabilità sapendo che le unioni sono disgiunte e gli eventi $T_i$ indipendenti.
Chiamerei $p=P(T_i)$ e proverei a risolvere l'equazione in $p$ che ottengo dalla relazione $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

Il procedimento è giusto? Vado avanti? Avete qualche idea migliore?

mmm l'idea della relazione non è male, ma per dimostrarlo però manca una controuguagliana a mio vedere.
devi sapere a quanto è uguale $P(A \cap B)$ per questo te lo fai con la teoria degli insiemi.

[retrocomputer]

"hamming_burst":
mmm l'idea della relazione non è male, ma per dimostrarlo però manca una controuguagliana a mio vedere.
devi sapere a quanto è uguale $P(A \cap B)$ per questo te lo fai con la teoria degli insiemi.

Infatti, faccio l'intersezione delle lunghe espressioni di $A$ e $B$ e vado di proprietà distributiva. Si dovrebbero ottenere diverse intersezioni in cui c'è un insieme e il suo complementare (quindi intersezioni vuote). Il conto che ho fatto l'altro giorno mi veniva $P(A\cap B)=(1-p)^3$

[hamming_burst]

"retrocomputer":[quote="hamming_burst"]
mmm l'idea della relazione non è male, ma per dimostrarlo però manca una controuguagliana a mio vedere.
devi sapere a quanto è uguale $P(A \cap B)$ per questo te lo fai con la teoria degli insiemi.

Infatti, faccio l'intersezione delle lunghe espressioni di $A$ e $B$ e vado di proprietà distributiva. Si dovrebbero ottenere diverse intersezioni in cui c'è un insieme e il suo complementare (quindi intersezioni vuote). Il conto che ho fatto l'altro giorno mi veniva $P(A\cap B)=(1-p)^3$ [/quote]
direi che è corretto...

basta provare a sostituire con ad es. nel caso equilibrato $p=1/2$

$P(A \cap B) = (1-1/2)^3$ che è dato quando son tutte croci.

nel caso 2) dire che comunque il principio vale perchè la moneta è truccata su una faccia, ed in questo caso l'evento di intersezione considera sempre la stessa (i lanci son indipendenti comunque, un lancio di croci o teste saranno non equilibrati rispetto alle all'altra faccia, ma non al lancio successuivo presumo...).

[retrocomputer]

"hamming_burst":
basta provare a sostituire con ad es. nel caso equilibrato $p=1/2$

$P(A \cap B) = (1-1/2)^3$ che è dato quando son tutte croci.

Non ci avevo pensato! Un ottimo modo per verificare se i conti sono giusti

Comunque ho appena rifatto i calcoli (l'altro giorno mi venivano risultati poco credibili) dell'equazione $P(A)P(B)=P(A\cap B)$:

$[p^3+(1-p)^3][(1-p)^3+3p(1-p)^2]=(1-p)^3$
$[p^3+(1-p)^3][(1-p)+3p]=1-p$
$[p^3+1-3p+3p^2-p^3][1+2p]=1-p$
$[1-3p+3p^2][1+2p]=1-p$
...
$3p^2(2p-1)=0$

E questo mi dovrebbe assicurare che per $p=1/2$ si ha indipendenza e che invece per ogni altro valore di $p\in(0,1)$ gli eventi $A$ e $B$ non possono essere indipendenti, OK?

[hamming_burst]

"retrocomputer":
$[p^3+(1-p)^3][(1-p)^3+3p(1-p)^2]=(1-p)^3$
$[p^3+(1-p)^3][(1-p)+3p]=1-p$
$[p^3+1-3p+3p^2-p^3][1+2p]=1-p$
$[1-3p+3p^2][1+2p]=1-p$
...
$3p^2(2p-1)=0$

E questo mi dovrebbe assicurare che per $p=1/2$ si ha indipendenza e che invece per ogni altro valore di $p\in(0,1)$ gli eventi $A$ e $B$ non possono essere indipendenti, OK?

se i calcoli son giusti, direi che son d'accordo.

EDIT:
wolfram conferma...

[retrocomputer]

E allora grazie a Wolfram, e a te