[Esercizio interessante] Somma di vc Dicotomiche indipendenti

[FunkyGallo]

ripetendo il lancio di una moneta per n volte posso utilizzare una binomiale con legge: $ P(X=k)=( (n), (k) )p^k(1-p)^(n-k) $ adesso questo vale se ho un lancio ripetuto di una bernoulli che può assumere valore 0(esce croce) 1(esce testa).

se io avessi la ripetizione di più esperimenti di un gioco dove posso ottenere 2 esiti e quindi fosse una vc dicotomica che assume questi valori $ X={ ( sigmasqrt(T/N) ),(-sigmasqrt(T/N) ):} $ uno con prob p(valore positivo), e l'altro prob (1-p) (valore negativo).

se dovessi ottenere una binomiale e quindi la ripetzione di questo esperimento come dovrei fare?

qua il mio tentativo..

considero il numero di "successi" il valore positivo di sigma $ =( (n), (k) ) p^k*sigma sqrt(T/N)(1-p)^(n-k)*-sigma sqrt(T/N) $
ma se così fosse come trovo media e varianza?

scusate ma su queste cose sono scarso. spero qualcuno possa darmi una mano, grazie

[Lo_zio_Tom]

No è sbagliato. Le probabilità rimangono sempre quelle della binomiale ma cambia il supporto della nuova variabile.

Per semplificare la notazione supponiamo di avere

$X-={{:(-a,a),(q,p):}$

Con $a>0$ ed ovviamente $q=1-p$

Siamo interessati a studiare la variabile $sum_(i=1)^(n)X_i$, ovvero a $n$ ripetizioni casuali di X

Trasformi la variabile iniziale nel seguente modo:

$Y=(X+a)/(2a)$

Ora la variabile $Y~B(1,p)$. Infatti viene:

$Y-={{:(0,1),(q,p):}$

E di conseguenza $sum_(i=1)^(n)Y_i$ è binomiale, quindi con supporto $S_(SigmaY) ={0,1,2...,n}$. Ora puoi calcolare tutto ciò che vuoi con le proprietà di media e varianza considerando che la tua variabile ora è $sum_(i=1)^(n)X_i=-n*a+2a sum_(i=1)^(n)Y_i$

Quindi molto semplicemente trovi:

$E[sum_(i=1)^(n)X_i]=-n a+2a n p$

$V[sum_(i=1)^(n)X_i]=4a^2 n pq$

La distribuzione di $sum_(i=1)^(n)X_i$ avrà quindi le probabilità di una binomiale con il nuovo supporto $S_(SigmaX)={-n a, -n a+2a,...,n a}$

Formalmente hai

$P{sum_(i=1)^(n)X_i=2ak-na}=((n),(k))p^k q^(n-k)$

$k=0,1,2,...,n$

La variabile iniziale potrebbe anche non essere simmetrica....non cambia nulla, basta trovare la giusta trasformazione iniziale.

Proviamo (anche se pleonastico) con un esempio numerico

$X-={{:(-1,2),(1/3,2/3):}$

$n=5$

Trasformiamo con $Y=(X+1)/3$

applichiamo il metodo descritto (ovviamente con le opportune modifiche perché qui la variabile non è nemmeno simmetrica) trovando

$sum_(i=1)^(5)X_i-={{: ( -5 , -2 , 1 , 4 , 7 , 10 ),( 0.004 ,0.041 , 0.165 , 0.329 , 0.329 , 0.132 ) :}$

e possiamo calcolare esplicitamente media e varianza trovando

$E[sum_iX_i]=-5*0.004-2*0.041+...+10*0.132=5$

$V[sum_iX_i]=(-5)^2*0.004+(-2)^2*0.041+...+10^2*0.132-5^2=10$

Ora possiamo verificare che le formule che ti ho indicato sono corrette; infatti abbiamo

$E[sum_iX_i]=-5+3E[sum_iY_i]=-5+3*5*2/3=5$

$V[sum_iX_i]=9V[sum_iY_i]=9*5*1/3*2/3=10$

Non so se questo metodo si trovi sui libri perché io me lo sono inventato....ma ti assicuro che funziona e molte volte ti toglie dai guai di conti lunghissimi.

Fine

Ps :Qui non hai nemmeno risposto ....non dico di ringraziare ma almeno sapere se hai capito...

[FunkyGallo]

perfetto, sopratutto l'esempio numerico è tutt'altro che pleonastico. L unico problema è che non riesco a capire come ottieni il dominio della $ sum_(i=1)^(5)X_i-={{: ( -5 , -2 , 1 , 4 , 7 , 10 ),( 0.004 ,0.041 , 0.165 , 0.329 , 0.329 , 0.132 ) :} $ come hai fatto?
il resto tutto chiaro anche se alla trasformazione della v.c. non ci avrei pensato.

comunque io pensavo ci fosse un modo molto più semplice e sopratutto cerco di vederci un esempio reale in questo tipo di esercizi. Tu è come se avessi modellizzato una scommessa che paga 2 con prob 2/3 e perde -1 con prob (1/3), il che sarebbe un gioco dove è fesso il bookmaker . Scherzi a parte è possibile trovare la media e la varianza saltando il passaggio "trasormo ogni singola vc in una bernoulli [0,1]" e poi faccio la binomiale?

se hai altri suggerimenti o esercizi simili sono tutto orecchi. grazie ciao

ps: anche l'altro esercizio mi è chiaro

[Lo_zio_Tom]

Come hai capito L'esempio era fatto a caso ma potrebbe tranquillamente essere il gioco visto dalla parte del banco.

Comunque per il dominio esattamente come nel caso precedente

Se la trasformazione è questa

$y=(x+1)/3$

Con 5 ripetizioni trovi

$sum_(i=1)^(5) y_i=sum_(i=1)^(5)(x_i+1)/3$

$3sum_(i=1)^(5) y_i=5+sum_(i=1)^(5)x_i$

$sum_(i=1)^(5) x_i =-5+3sum_(i=1)^(5) y_i$

Con $sum_(i=1)^(5)y_i=0,1,2,3,4,5$ trovi il dominio di $sum_(i=1)^(5)x_i$ mentre le probabilità sono quelle della binomiale di $sum_(i=1)^(5)y_i$.

EDIT:

"FunkyGallo":
comunque io pensavo ci fosse un modo molto più semplice

A volte mi sento un imbecille.....

Per calcolare media e varianza basta usare le proprietà di media e varianza, quindi:

$E[sum_(i =1)^(n)X_i]=nE[X]$

Mentre per la varianza, data l'indipendenza:

$V[sum_(i=1)^(n)X_i]=nV[X]$



Il metodo descritto serve per calcolare la distribuzione della variabile somma