Esercizio inferenza statistica

[motonic949392]

Un'industria che produce guarnizioni esegue controlli della qualità periodicamente tramite il seguente esperimento:
fissato un istante iniziale si inizia a contare il numero di guarnizioni che escono dal processo produttivo. Dopo aver osservato 2 guarnizioni conformi alle specifiche del mercato viene registrato il numero di guarnizioni contate.
Specificare un modello probabilistico adeguato per il fenomeno descritto e illustrare il significato del parametro per il fenomeno in esame. Infine calcolare la stima di massima verosimiglianza della probabilità che il numero di guarnizioni che devono essere esaminate sia pari a 2, dati i valori 2,3,2,3,4,2 registrati al termine dell'esecuzione dell'esperimento in ciascuno degli stabilimenti in cui ha luogo la produzione.

Io l'ho risolto pensando fosse un modello Poisson visto che parla di conteggio ma non ne sono sicuro. La stima di massima verosimiglianza della probabilità l'ho calcolata in questo modo:
$\hat θ=(\sum_{=1}^7 y_i)/7=16/7=2,28$ e poi $P(Y=2)=[exp^(-2,28) (2,28)^2]/(2!)=0,26$
Procedimento esatto? O ho sbagliato qualcosa? Grazie

[Lo_zio_Tom]

"motonic949392":Dopo aver osservato 2 guarnizioni conformi alle specifiche del mercato viene registrato il numero di guarnizioni contate.

Traduco:
"dopo aver osservato 2 successi si contano quanti tentativi abbiamo fatto: 2,2,3,4,2,3 ecc ecc"

Ovvero "numero di tentativi necessari per avere k successi".....ti ricorda nulla?

Sei parecchio fuori strada....la distribuzione da usare te l'ho detta io, però dovresti innanzitutto capire cosa devi stimare, un parametro, una funzione del parametro....in genere se devi stimare una funzione di un parametro con il metodo della massima verosimiglianza prima si trova la stima del parametro e poi si usa la proprietà di invarianza....l'ultimo atto è quello di trovare la stima, ma lì basta sostituire i dati degli esperimenti effettuati.

Rinnovo i complimenti al tuo insegnante perché trova sempre esercizi originali, non i soliti rimasticamenti

Quindi iniziamo:

La distribuzione in oggetto è la seguente:

$P(X=x)=(x-1)theta^2(1-theta)^(x-2)$ ;$x=2,3,4,....$

Non serve per l'esercizio, ma dato che siamo qui per imparare ed il topic deve servire a tutti....proviamo anche che $P(X=x)$ è una vera distribuzione di probabilità; quindi sommiamo

$sum_(x=2)^(oo)(x-1)theta^2(1-theta)^(x-2)=theta^2sum_(x=2)^(oo)(x-1)(1-theta)^((x-1)-1)=$

$=theta^2sum_(x=2)^(oo)d/(d(1-theta))(1-theta)^(x-1)=theta^2d/(d(1-theta))sum_(x=2)^(oo)(1-theta)^(x-1)=$

$=theta^2d/(d(1-theta))(1-theta)/(1-(1-theta))=1$

quindi sì, la distribuzione in oggetto è una valida distribuzione di probabilità

A questo punto torniamo a bomba sull'esercizio e calcoliamo lo stimatore di max verosimiglianza di $theta$

$L prop theta^(2n)(1-theta)^(Sigmax-2n)$

$logL=2nlogtheta+(Sigmax-2n)log(1-theta)$

$d/(d theta)logL=(2n)/theta-(Sigmax-2n)/(1-theta)=0 rarr hat(theta)=(2n)/(Sigmax)$

Quindi la stima del parametro utilizzando i dati del campione casuale è $hat(theta)=3/4$

Noi però non siamo interessati a stimare $theta$ ma siamo interessati a stimare la probabilitàche ci vogliano esattamente due tentativi per trovare due guarnizioni buone, ovvero dobbiamo stimare

$P(X=2)=theta^2$

Quindi per la proprietà di invarianza degli stimatori di max verosimiglianza la nostra stima sarà

$hat(P)(X=2)=9/16$

[motonic949392]

Quindi una Binomiale Negativa, sospettavo questo. La parola conteggio mi ha fatto andare nel pallone. Grazie per l'aiuto.
Una cosa, qual è il significato del parametro per il fenomeno in esame?

[Lo_zio_Tom]

"motonic949392":
Una cosa, qual è il significato del parametro per il fenomeno in esame?

Una cosa che potresti fare da solo....conosci la distribuzione, saprai anche come interpretarne il parametro....