Esercizio generico su probabilità e bayes
Tre tiratori hanno probabilità di colpire un bersaglio:
P(T1)=1/4 P(T2)=1/2 P(T3)=1/6
calcolare:
-la probabilità che il bersaglio venga colpito
-la probabilità che il bersaglio sia colpito da T1 e T2 ma non da T3
-la probabilità che sia colpito solo dal tiratore T2
-sapendo che è stato colpito qual è la probabilità che sia stato colpito da T1
La risposta alla domanda a secondo me è P(T1 u T2 u T3) quindi somma delle probabilità dei 3 + intersezione dei 3 - intersezione tra 1° e 2° tra 2° e 3° e tra 1° e 3° che sono il prodotto tra le probabilità
la b credo che bisogna usare bayes per trovare P(t1 intersecato T2 | non T3)
la C credo sia P(T2 u non T1 u non T3)
la d non ne ho idea
grazie per l'aiuto che mi darete
ciao
P(T1)=1/4 P(T2)=1/2 P(T3)=1/6
calcolare:
-la probabilità che il bersaglio venga colpito
-la probabilità che il bersaglio sia colpito da T1 e T2 ma non da T3
-la probabilità che sia colpito solo dal tiratore T2
-sapendo che è stato colpito qual è la probabilità che sia stato colpito da T1
La risposta alla domanda a secondo me è P(T1 u T2 u T3) quindi somma delle probabilità dei 3 + intersezione dei 3 - intersezione tra 1° e 2° tra 2° e 3° e tra 1° e 3° che sono il prodotto tra le probabilità
la b credo che bisogna usare bayes per trovare P(t1 intersecato T2 | non T3)
la C credo sia P(T2 u non T1 u non T3)
la d non ne ho idea
grazie per l'aiuto che mi darete
ciao
Risposte
Rettifico. La c è P(T2 intersecato non T1 intersecato non T3) e se gli eventi sono indipendenti (?) è il prodotto di tt e tre ?
la d è P(T1 |colpito (risposta al punto a), credo si debba usare bayes ma come procedo ?
Grazie
la d è P(T1 |colpito (risposta al punto a), credo si debba usare bayes ma come procedo ?
Grazie
a) $1-3/4*1/2*5/6=33/48$
b) $1/4*1/2*5/6=5/48$
c) $3/4*1/2*5/6=15/48$
Per la d ci devo pensare...
b) $1/4*1/2*5/6=5/48$
c) $3/4*1/2*5/6=15/48$
Per la d ci devo pensare...
Per la d) la risposta è più complessa.
La domanda a) chiedeva di calcolare la probabilità che il bersaglio sia colpito. Senza specificare il numero di volte. Pertanto la mia risposta comprendeva le probabilità che il bersaglio fosse colpito 1 oppure 2 oppure anche 3 volte. Insomma era stato colpito ALMENO una volta.
Per la d) bisogna scindere le varie possibilità:
1) se è stato colpito 3 volte la probabilità è ovviamente $100%$
2) se è stato colpito 2 volte la probabilità è $6/9$
3) se è stato colpito 1 volta sola (soluzione che ritengo più acconcia) la probabilità è $5/23$
La domanda a) chiedeva di calcolare la probabilità che il bersaglio sia colpito. Senza specificare il numero di volte. Pertanto la mia risposta comprendeva le probabilità che il bersaglio fosse colpito 1 oppure 2 oppure anche 3 volte. Insomma era stato colpito ALMENO una volta.
Per la d) bisogna scindere le varie possibilità:
1) se è stato colpito 3 volte la probabilità è ovviamente $100%$
2) se è stato colpito 2 volte la probabilità è $6/9$
3) se è stato colpito 1 volta sola (soluzione che ritengo più acconcia) la probabilità è $5/23$
La d io l'ho intesa come P(T1/colpito)=P(T1 intersec colpito) / P(colpito).
Al numeratore rimane P(T1) perché è un sottoinsieme quindi mi esce 12/33.
Credo sia giusto così
Al numeratore rimane P(T1) perché è un sottoinsieme quindi mi esce 12/33.
Credo sia giusto così
Non è giusto come dici tu.
Devo dirti che questa è stata anche la mia prima idea. Ma poi ho visto che non funzionava...
Perchè se fai la controprova, ovvero se provi anche a calcolare la probabilità (usando il tuo metodo) che a colpire il bersaglio (sapendo che è stato colpito), siano stati T2 o T3, e poi sommi le 3 probabilità, ottieni un risultato globale superiore a 33/33. Il che è chiaramente impossibile.
Per essere più chiaro ci sarebbero i seguenti risultati:
T1=12/33
T2=24/33
T3=8/33
Totale $12/33+24/33+8/33=44/33$
Come puoi osservare, non è una strada percorribile.
Comunque ho un'ideuzza per trovare una soluzione finale.
Se ne ho la possibiltà, e se ritengo sia corretta, te la posto domani.
Devo dirti che questa è stata anche la mia prima idea. Ma poi ho visto che non funzionava...
Perchè se fai la controprova, ovvero se provi anche a calcolare la probabilità (usando il tuo metodo) che a colpire il bersaglio (sapendo che è stato colpito), siano stati T2 o T3, e poi sommi le 3 probabilità, ottieni un risultato globale superiore a 33/33. Il che è chiaramente impossibile.
Per essere più chiaro ci sarebbero i seguenti risultati:
T1=12/33
T2=24/33
T3=8/33
Totale $12/33+24/33+8/33=44/33$
Come puoi osservare, non è una strada percorribile.
Comunque ho un'ideuzza per trovare una soluzione finale.
Se ne ho la possibiltà, e se ritengo sia corretta, te la posto domani.
Ciao Sergio.
Non sono convintissimo della tua tabella.
Non capisco perchè le ripetizioni le togli solo a T2 e e T3, e mai a T1.
Con quella tabella abbiamo : $T1=12/33$ $T2=18/33$ e $T3=3/33$
Ma se facciamo (ad esempio), prima la colonna T2, poi T1 ed infine T3 e cancelliamo le ripetizioni nell'ordine che hai seguito prima, otteniamo $T2=24/33$ $T1=6/33$ e $T3=3/33$
I due risultati mi paiono incongruenti.
E se poi cambiamo ancora l'ordine delle colonne, i risultati cambiano ogni volta.
Non sono convintissimo della tua tabella.
Non capisco perchè le ripetizioni le togli solo a T2 e e T3, e mai a T1.
Con quella tabella abbiamo : $T1=12/33$ $T2=18/33$ e $T3=3/33$
Ma se facciamo (ad esempio), prima la colonna T2, poi T1 ed infine T3 e cancelliamo le ripetizioni nell'ordine che hai seguito prima, otteniamo $T2=24/33$ $T1=6/33$ e $T3=3/33$
I due risultati mi paiono incongruenti.
E se poi cambiamo ancora l'ordine delle colonne, i risultati cambiano ogni volta.
Io applicherei questa tabella.
Probabilità che a fare centro sia/siano:
T1 = 5/48
T2 = 15/48
T3 = 3/48
T1 e T2 = 5/48
T1 e T3 = 1/48
T2 e T3 = 3/48
T1 e T2 e T3 = 1/48.
Totale 33/48.
Poichè sappiamo che il bersaglio è stato colpito, ragioniamo in trentatreesimi:
che a fare centro sia stato uno solo = 23/33
che a fare centro siano stati in due = 9/33
che a fare centro siano stati tutti e tre = 1/33
Pertanto la probabilità che a fare centro sia stato ( da solo o in compagnia ) T1 è:
$5/33+(6/33)/2+(1/33)/3=5/33+3/33+1/99=(15+9+1)/99=25/99$
Facendo allo stesso modo ottengo $T2=58/99$ e $T3=16/99$
Totale $(25+58+16)/99=99/99$
L'unico dubbietto che mi è rimasto, è se sia corretto dividere per 2 e per 3, o se invece la probabilità "comune" vada ripartita in maniera diversa.
Probabilità che a fare centro sia/siano:
T1 = 5/48
T2 = 15/48
T3 = 3/48
T1 e T2 = 5/48
T1 e T3 = 1/48
T2 e T3 = 3/48
T1 e T2 e T3 = 1/48.
Totale 33/48.
Poichè sappiamo che il bersaglio è stato colpito, ragioniamo in trentatreesimi:
che a fare centro sia stato uno solo = 23/33
che a fare centro siano stati in due = 9/33
che a fare centro siano stati tutti e tre = 1/33
Pertanto la probabilità che a fare centro sia stato ( da solo o in compagnia ) T1 è:
$5/33+(6/33)/2+(1/33)/3=5/33+3/33+1/99=(15+9+1)/99=25/99$
Facendo allo stesso modo ottengo $T2=58/99$ e $T3=16/99$
Totale $(25+58+16)/99=99/99$
L'unico dubbietto che mi è rimasto, è se sia corretto dividere per 2 e per 3, o se invece la probabilità "comune" vada ripartita in maniera diversa.
Certo che fa differenza!
Il totale, ovviamente rimane sempre 33/33.
Ma sono i parziali che cambiano.
Se la probabilità di T1 passa (nell'esempio che ti ho fatto) da $12/33$ a $6/33$, mi pare che la differenza ci sia.
Il totale, ovviamente rimane sempre 33/33.
Ma sono i parziali che cambiano.
Se la probabilità di T1 passa (nell'esempio che ti ho fatto) da $12/33$ a $6/33$, mi pare che la differenza ci sia.
Ciao Sergio.
Evidentemente non ci capiamo. O meglio non riesco a farmi capire.
Se nella tabellina che hai fatto, le ripetizioni le togli a T1 anzichè a T2, la sua probabilità si riduce a $6/33$
Perchè ti fermi a calcolare solo la probabilità di T1?
Perchè non fai la controprova, e non calcoli anche la probabilità di T2 e T3?
Applica la stessa formula anche agli altri due, e vedrai che ti viene T2=24/33 e T3=8/33
E $12/33+24/33+8/33=44/33$
E come vedi e come ho detto alcuni post fa, non è chiaramente possibile.
Anche nel tuo esempio c'è lo stesso buco che c'è nel problema del tiro al bersaglio.
Però con l'esempio che hai fatto, mi hai dato la certezza che ho ragione io. E mi hai tolto tutti i dubbi che avevo.
Col tuo ragionamento, Tizio ne ha ne ha arraffate 12, Caio 24 e Sempronio 8.
In totale 44. E ci può stare, visto che alcune sono in "comproprietà".
Ma se al posto di "arraffate", metti "mangiate", ti renderai conto che è palese che Tizio non ne ha mangiate 12.
Ma meno.
Ne ha mangiate: 5 intere, 5 a metà con Caio, 1 a metà con Sempronio, e di 1 ne ha mangiato un terzo.
In totale $5+5/2+1/2+1/3=(30+15+3+2)/6=50/6=25/3$
Se faccio lo stesso con Caio (utilizzando i dati del tiro con l'arco) ottengo $58/3$ e per Sempronio $16/3$.
E se faccio la somma $(25+58+16)/3=99/3=33$
Ecco, adesso i conti mi tornano.
Sulla base di ciò confermo i risultati che ho messo in un post precedente.
Il bersaglio è stato colpito con queste probabilità:
$T1=25/99$
$T2=58/99$
$T3=16/99$
Evidentemente non ci capiamo. O meglio non riesco a farmi capire.
Se nella tabellina che hai fatto, le ripetizioni le togli a T1 anzichè a T2, la sua probabilità si riduce a $6/33$
Perchè ti fermi a calcolare solo la probabilità di T1?
Perchè non fai la controprova, e non calcoli anche la probabilità di T2 e T3?
Applica la stessa formula anche agli altri due, e vedrai che ti viene T2=24/33 e T3=8/33
E $12/33+24/33+8/33=44/33$
E come vedi e come ho detto alcuni post fa, non è chiaramente possibile.
Anche nel tuo esempio c'è lo stesso buco che c'è nel problema del tiro al bersaglio.
Però con l'esempio che hai fatto, mi hai dato la certezza che ho ragione io. E mi hai tolto tutti i dubbi che avevo.
Col tuo ragionamento, Tizio ne ha ne ha arraffate 12, Caio 24 e Sempronio 8.
In totale 44. E ci può stare, visto che alcune sono in "comproprietà".
Ma se al posto di "arraffate", metti "mangiate", ti renderai conto che è palese che Tizio non ne ha mangiate 12.
Ma meno.
Ne ha mangiate: 5 intere, 5 a metà con Caio, 1 a metà con Sempronio, e di 1 ne ha mangiato un terzo.
In totale $5+5/2+1/2+1/3=(30+15+3+2)/6=50/6=25/3$
Se faccio lo stesso con Caio (utilizzando i dati del tiro con l'arco) ottengo $58/3$ e per Sempronio $16/3$.
E se faccio la somma $(25+58+16)/3=99/3=33$
Ecco, adesso i conti mi tornano.
Sulla base di ciò confermo i risultati che ho messo in un post precedente.
Il bersaglio è stato colpito con queste probabilità:
$T1=25/99$
$T2=58/99$
$T3=16/99$
Sergio: evidentemente stavolta non abbiamo possibilità di accordarci.
Non importa. Sopravvivremo (chissà se l'ho scritto giusto...) lo stesso.
Io resto convinto che se il totale è 33, la somma dei parziali deve essere 33.
Ti dirò di più.
In preda al delirio, ho fatto ulteriori calcoli.
Cioè i centri "comuni", invece di dividerli per 2 o 3, li ho ripartiti proporzionalmente alla probabilità di fare centro che ha ognuno.
In base a questo ho ottenuto questi risultati:
$T1=1.004/4356$
$T2=2.789/4356$
$T3=563/4356$
Ciao.
Non importa. Sopravvivremo (chissà se l'ho scritto giusto...) lo stesso.
Io resto convinto che se il totale è 33, la somma dei parziali deve essere 33.
Ti dirò di più.
In preda al delirio, ho fatto ulteriori calcoli.
Cioè i centri "comuni", invece di dividerli per 2 o 3, li ho ripartiti proporzionalmente alla probabilità di fare centro che ha ognuno.
In base a questo ho ottenuto questi risultati:
$T1=1.004/4356$
$T2=2.789/4356$
$T3=563/4356$
Ciao.
Senti Sergio, perchè non ce ne andiamo a letto tutti e due?
Tra l'altro io per arrivare a casa devo camminare per una quarantina di minuti. Metà dei quali in salita. A tratti anche aspra.
La mia affermazione che "il totale ovviamente resta sempre 33/33" era riferita ad un contesto che non sono riuscito a esplicitare bene.
Resto della convinzione che il vostro metodo (tuo e di Netfrog) non sia corretto e porti ad un totale di 44/33.
Adesso mi è venuta un'illuminazione.
Poichè ci sono delle duplicazioni, gli eventi devono essere contati ogni volta che si presentano.
Pertanto sono possibilità sono 44, e bisogna ragionare in quarantaquattresimi.
Questo vuol dire che T1 ha $12/44$, T2 ha $24/44$ e T3 ha $8/44$
E, questo mi conforta molto, 12-24-8 sono direttamente proporzionali alle rispettive probabilità di fare centro 1/4 - 1/2 - 1/6.
Questo mi pare risolutivo e definitivo.
Amen.
E buonanotte.
Tra l'altro io per arrivare a casa devo camminare per una quarantina di minuti. Metà dei quali in salita. A tratti anche aspra.
La mia affermazione che "il totale ovviamente resta sempre 33/33" era riferita ad un contesto che non sono riuscito a esplicitare bene.
Resto della convinzione che il vostro metodo (tuo e di Netfrog) non sia corretto e porti ad un totale di 44/33.
Adesso mi è venuta un'illuminazione.
Poichè ci sono delle duplicazioni, gli eventi devono essere contati ogni volta che si presentano.
Pertanto sono possibilità sono 44, e bisogna ragionare in quarantaquattresimi.
Questo vuol dire che T1 ha $12/44$, T2 ha $24/44$ e T3 ha $8/44$
E, questo mi conforta molto, 12-24-8 sono direttamente proporzionali alle rispettive probabilità di fare centro 1/4 - 1/2 - 1/6.
Questo mi pare risolutivo e definitivo.
Amen.
E buonanotte.
Ci sono arrivato!!! (stanotte alle 04.05 mentro ero a letto e non dormivo...).
Evidentemente l'illuminazione che ho avuto era dovuta a una lampadina fulminata.
Ho dovuto fare un esempio pratico per comprendere!
Riepiloghiamo:
1) Ci sono tre arcieri;
2) Fanno ognuno 48 turni di tiro;
3) In ogni turno ogni arciere tira una freccia;
4) Dopo ogni turno si verifica quante frecce ci sono sul bersaglio;
5) In totale sul bersaglio (dopo 48 turni) ci sono state 44 frecce: 12 tirate da T1; 24 tirate da T2 e 8 tirate da T3.
6) In 15 turni non c'è stato alcun centro;
7) In 33 turni ci sono stati dei centri: in 5 solo da T1; in 15 solo da T2; in 3 solo da da T3; in 5 da T1 e T2; in 1 da T1 e T3;in 3 da T2 e T3; in 1 da T1,T2 e T3.
Sapendo che il bersaglio è stato colpito, dobbiamo considerare solo i casi (33) in cui ciò si verifica.
Da ciò si desume che la probabilità (tra parentesi) che a colpire il bersaglio siano stati: T1(12/33); T2(24/33);T3(8/33).
Il mio problema è stato che non coglievo la differenza tra le frecce che hanno colpito il brersaglio (44) con i turni di tiro in cui ciò e accaduto (33).
Chiedo scusa a Sergio (meno grave, lui era certo di quel che diceva), sia agli altri utenti (più grave, perchè potrei averli confusi con la mia insistenza).
Devo dire che ogni tanto mi capitano dei black out, in cui sono certissimo di qualcosa che invece è palesemente errata.
Mi ricordo che (in tempi preistorici), l'area di un quadrato di mezzo metro e mezzo metro quadrato per me erano la stessa cosa. E per farmi capire la differenza......
Ciao Sergio.
Certo che te ne ho fatta scrivere di roba!! Ma non c'è niente da fare: quando m'inzucco, m'inzucco!
Come vedi stavolta (palesemente) avevi ragione tu.
Saluti.
Luciano.
Evidentemente l'illuminazione che ho avuto era dovuta a una lampadina fulminata.
Ho dovuto fare un esempio pratico per comprendere!
Riepiloghiamo:
1) Ci sono tre arcieri;
2) Fanno ognuno 48 turni di tiro;
3) In ogni turno ogni arciere tira una freccia;
4) Dopo ogni turno si verifica quante frecce ci sono sul bersaglio;
5) In totale sul bersaglio (dopo 48 turni) ci sono state 44 frecce: 12 tirate da T1; 24 tirate da T2 e 8 tirate da T3.
6) In 15 turni non c'è stato alcun centro;
7) In 33 turni ci sono stati dei centri: in 5 solo da T1; in 15 solo da T2; in 3 solo da da T3; in 5 da T1 e T2; in 1 da T1 e T3;in 3 da T2 e T3; in 1 da T1,T2 e T3.
Sapendo che il bersaglio è stato colpito, dobbiamo considerare solo i casi (33) in cui ciò si verifica.
Da ciò si desume che la probabilità (tra parentesi) che a colpire il bersaglio siano stati: T1(12/33); T2(24/33);T3(8/33).
Il mio problema è stato che non coglievo la differenza tra le frecce che hanno colpito il brersaglio (44) con i turni di tiro in cui ciò e accaduto (33).
Chiedo scusa a Sergio (meno grave, lui era certo di quel che diceva), sia agli altri utenti (più grave, perchè potrei averli confusi con la mia insistenza).
Devo dire che ogni tanto mi capitano dei black out, in cui sono certissimo di qualcosa che invece è palesemente errata.
Mi ricordo che (in tempi preistorici), l'area di un quadrato di mezzo metro e mezzo metro quadrato per me erano la stessa cosa. E per farmi capire la differenza......
Ciao Sergio.
Certo che te ne ho fatta scrivere di roba!! Ma non c'è niente da fare: quando m'inzucco, m'inzucco!
Come vedi stavolta (palesemente) avevi ragione tu.
Saluti.
Luciano.
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