Esercizio Funzione Densità

[daniele46101]

Salve ragazzi, e grazie per il vostro tempo che dedicate ad aiutarci, mi sembrava doveroso anticiparlo.

Ho un bel problema con un esercizio, vi trascrivo la traccia:

Assegnata la funzione g(x)

$ g(x)= { ( c e^(-3x), x>0 ),( 0, "altrove" ):} $

a) il valore del parametro c, in maniera tale che g(.) sia una funzione densità di probabilità di una variabile aleatoria X assolutamente continua.

Veniamo a noi:
Per sapere se una funzione densità è assolutamente continua, deve rispettare due proprietà:
- g(x) > 0
- $ int_(-oo )^(+oo ) g(x) dx =1 $

Detto questo, son partito a svolgere l'esercizio, ossia trovando quel parametro c.

Pongo la nostra funzione (assumendo che x è maggiore di 0, altrimenti verrebbe 0 come indicato dal sistema) >0:

$ c e ^(-3x) > 0 $

[Sto per dire una XXXXXXXXX, non mi bannate] Essendo x maggiore di 0, la nostra e^(-3x) non va mai a 0.
Quindi resta da indicare che anche il parametro c debba essere strettamente maggiore di 0, affinchè tutta la funzioni risulti maggiore di 0 (infatti se il parametro c dovrebbe essere uguale a zero, o addirittura negativo, la nostra funzione non risulterebbe mai verificata).

Il libro riporta come valore del parametro c uguale a 3. Ma sinceramente non mi spiego assolutamente come ci è pervenuto, sicuramente avrò combinato qualche XXXXXXX colossale, a livello matematico.

[Lo_zio_Tom]

A parte che la densità è nota (è una esponenziale negativa) e quindi senza fare conti dovresti sapere che viene

$g(x)=theta e^(-thetax)$; $x>=0$

Quindi il tuo $c=3$

...ma basta fare l'integrale e porlo uguale a 1 per risolvere

$int_0^(+oo)ce^(-3x)dx=1$

$c/(-3)[e^(-3x)]_0^(+oo)=1$

$c[0-1]=-3$

$c=3$

Ps: magari qualche parolaccia in meno...

[daniele46101]

Tommik, perdonami se ragiono sempre oltre quello che non riesco a vedere sotto i miei occhi.
Puoi darmi una spiegazione più tecnico-pratica?!

Son mancato a lezione due giorni, ho studiato la teoria da solo, e purtroppo sto avendo qualche inceppamento da perdersi in un bicchier d'acqua, come vedi.
Perchè ti sei preso subito quello 0, e quando sfruttarlo?.

Edit: perchè poi lo zero ha preso il posto di quel 3 posto come esponente?!?

[daniele46101]

Quindi, tommik, un dubbio: è possibile risolvere direttamente dall'integrale senza risoluzione della disequazione g(x)>0? O solo in questo caso è stato possibile?

[daniele46101]

Quindi Tommik, diciamo che con la prima proprietà si determina le condizioni con le quali la funzione g(x) risulta essere maggiore o al massimo uguale a 0; mentre con la risoluzione dell'integrale si perviene a un risultato numerico.

Sto sbagliando?