Esercizio estrazione da un'urna senza reimbussolamento
Ciao a tutti,
avrei bisogno di aiuto riguardo a questo esercizio. Non dovrebbe essere troppo complesso, ma ho ancora qualche dubbio riguardo alla mia risoluzione.
Un'urna contiene 6 palline rosse e 8 bianche. Se ne estraggono 6 senza restituzione; si calcoli la probabilità dei seguenti eventi:
A = si estraggono 4 palline rosse e 2 bianche
B = si estraggono le prime 4 palline rosse e le ultime 2 bianche
C = la prima pallina rossa è estratta alla 4^ estrazione
Io ho risolto così:
\[P(A)=\frac{\binom{6}{4}\cdot \binom{8}{2}}{\binom{14}{6}}=\frac{20}{143}\]
Invece nel secondo caso, conta l'ordine delle estrazioni, quindi avevo pensato nel seguente modo:
\[P(B)=\frac{\binom{6}{4}\cdot 4!\cdot \binom{8}{2}\cdot 2!}{\binom{14}{6}\cdot 6!}=\frac{4}{429}\]
Ma ho ancora qualche dubbio riguardo a ciò.
Comunque, analogamente per il terzo caso ho scritto:
\[P(C)=\frac{\binom{8}{3}\cdot 3!\cdot 6\cdot \binom{14}{2}\cdot 2!}{\binom{14}{6}\cdot 6!}=\frac{28}{165}\]
Ho fatto bene?
E se invece l'estrazione fosse con reimbussolamento, come potrei procedere?
avrei bisogno di aiuto riguardo a questo esercizio. Non dovrebbe essere troppo complesso, ma ho ancora qualche dubbio riguardo alla mia risoluzione.
Un'urna contiene 6 palline rosse e 8 bianche. Se ne estraggono 6 senza restituzione; si calcoli la probabilità dei seguenti eventi:
A = si estraggono 4 palline rosse e 2 bianche
B = si estraggono le prime 4 palline rosse e le ultime 2 bianche
C = la prima pallina rossa è estratta alla 4^ estrazione
Io ho risolto così:
\[P(A)=\frac{\binom{6}{4}\cdot \binom{8}{2}}{\binom{14}{6}}=\frac{20}{143}\]
Invece nel secondo caso, conta l'ordine delle estrazioni, quindi avevo pensato nel seguente modo:
\[P(B)=\frac{\binom{6}{4}\cdot 4!\cdot \binom{8}{2}\cdot 2!}{\binom{14}{6}\cdot 6!}=\frac{4}{429}\]
Ma ho ancora qualche dubbio riguardo a ciò.
Comunque, analogamente per il terzo caso ho scritto:
\[P(C)=\frac{\binom{8}{3}\cdot 3!\cdot 6\cdot \binom{14}{2}\cdot 2!}{\binom{14}{6}\cdot 6!}=\frac{28}{165}\]
Ho fatto bene?
E se invece l'estrazione fosse con reimbussolamento, come potrei procedere?
Risposte
Rivedi il 3^ punto..
quelle in cui conta l'ordine dovrebbero essere più semplici,no?
ad esempio,il secondo punto
$p(R)p(R|R)p(R|R R)cdot..=8/14cdot7/13cdot6/12cdot...$
ad esempio,il secondo punto
$p(R)p(R|R)p(R|R R)cdot..=8/14cdot7/13cdot6/12cdot...$
"stormy":
quelle in cui conta l'ordine dovrebbero essere più semplici,no?
ad esempio,il secondo punto
$p(R)p(R|R)p(R|R R)cdot..=8/14cdot7/13cdot6/12cdot...$
Il risultato è lo stesso, ovvero:
\[P(B)=\frac{6}{14}\cdot \frac{5}{13}\cdot \frac{4}{12}\cdot \frac{3}{11}\cdot \frac{8}{10}\cdot \frac{7}{9}=\frac{4}{429}\]
distrattamente ho sbagliato a scrivere(le palline rosse sono 6 e non 8)
$6/14cdot5/13cdot....$
per il terzo punto
$8/14cdot7/13cdot6/12cdot6/11$
$6/14cdot5/13cdot....$
per il terzo punto
$8/14cdot7/13cdot6/12cdot6/11$
"Umby":
Rivedi il 3^ punto..
Forse non ci vuole quel 2! dopo \[\binom{14}{2}\] dato che per gli ultimi 2 numeri non conta più l'ordine?
(piccolo OT... come faccio a inserire codici LaTeX senza farli andare a capo e senza centrarli?)
punto 3
$p(B)p(B|B)p(B|BB)P(R|BBB)=8/14cdot7/13cdot6/12cdot6/11$
$p(B)p(B|B)p(B|BB)P(R|BBB)=8/14cdot7/13cdot6/12cdot6/11$
Ma non c'è un modo di ottenere questo risultato usando i coefficienti binomiali, come ho fatto nel punto B? (seppure sia un metodo leggermente più complesso...)
[ot]
Basta usare le parentesi tonde invece delle quadre. Scrivendo ad esempio
"Trial4life":
(piccolo OT... come faccio a inserire codici LaTeX senza farli andare a capo e senza centrarli?)
Basta usare le parentesi tonde invece delle quadre. Scrivendo ad esempio
\( \LaTeX \)si ottiene \( \LaTeX \)[/ot]
"Trial4life":
Forse non ci vuole quel 2! dopo \[\binom{14}{2}\] dato che per gli ultimi 2 numeri non conta più l'ordine?
No. E' proprio il $((14),(2))$ il termine errato.... Delle 14 iniziali, 4 le hai già utilizzate..
Che stolto!
\(P(C)=\frac{\binom{12}{3} \cdot 3! \cdot 6 \cdot \binom{10}{2}\cdot 2!}{\binom{14}{6}\cdot 6!}=\frac{8}{14}\cdot \frac{7}{13}\cdot \frac{6}{12}\cdot \frac{6}{11}=\frac{12}{143}\)
Per il caso con reimbussolamento invece, \(P(B)\) e \(P(C)\) dovrebbero essere queste:
\(P(B)=\frac{6}{14}\cdot \frac{5}{14}\cdot \frac{4}{14}\cdot \frac{3}{14}\cdot \frac{8}{14}\cdot \frac{7}{14}=\frac{45}{16807}\)
\(P(C)=\frac{8}{14}\cdot \frac{7}{14}\cdot \frac{6}{14}\cdot \frac{6}{14}=\frac{18}{343}\)
Come potrei invece ricavare \(P(A)\), dato che non conta l'ordine?
\(P(C)=\frac{\binom{12}{3} \cdot 3! \cdot 6 \cdot \binom{10}{2}\cdot 2!}{\binom{14}{6}\cdot 6!}=\frac{8}{14}\cdot \frac{7}{13}\cdot \frac{6}{12}\cdot \frac{6}{11}=\frac{12}{143}\)
Per il caso con reimbussolamento invece, \(P(B)\) e \(P(C)\) dovrebbero essere queste:
\(P(B)=\frac{6}{14}\cdot \frac{5}{14}\cdot \frac{4}{14}\cdot \frac{3}{14}\cdot \frac{8}{14}\cdot \frac{7}{14}=\frac{45}{16807}\)
\(P(C)=\frac{8}{14}\cdot \frac{7}{14}\cdot \frac{6}{14}\cdot \frac{6}{14}=\frac{18}{343}\)
Come potrei invece ricavare \(P(A)\), dato che non conta l'ordine?
Con reimbussolamento:
A)$(6/14)^4*(8/14)^2*(6!)/(4!*2!)$
B)$(6/14)^4*(8/14)^2$
C)$(8/14)^3*6/14$
A)$(6/14)^4*(8/14)^2*(6!)/(4!*2!)$
B)$(6/14)^4*(8/14)^2$
C)$(8/14)^3*6/14$
Ah già, stupidamente ho tenuto conto del reimbussolamento solo ai denominatori e non ai numeratori... 
Grazie a tutti per l'aiuto!
Grazie a tutti per l'aiuto!
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