Esercizio estrazione con reinserimento

[Samy211]

Salve a tutti,

sto cercando di capire il ragionamento dietro gli esercizi sulle urne che non vogliono assolutamente entrarmi in testa. L'esercizio in questione è il seguente:

Si consideri un'urna che contiene 3 palline le quali possono essere bianche o nere ma non tutte dello stesso colore. Si assumono le diverse composizioni equiprobabili.
Calcolare la probabilità che l'urna contenga 2 palline bianche supposto che in 4 estrazioni con restituzione si ottenga 4 volte pallina bianca.

Definisco $H_i=$ "l'urna contiene $i$ palline bianche" e posso avere solo due possibilità, $H_1$ e $H_2$ equiprobabili con $P(H_1)=P(H_2)=1/2$.

La probabilità che mi viene richiesta è condizionata rispetto ad un altro evento che chiamo $A_i=$ "estrazione pallina bianca alla $i$-esima estrazione".

Dopo questo mi perdo perchè non capisco come far entrare nei dati le 4 estrazioni con restituzione. Devo applicare il teorema di Bayes per calcolare $P(H_2|A_1A_2A_3A_4)$?

Grazie per il vostro prezioso aiuto.

[ghira1]

"Samy21":Devo applicare il teorema di Bayes?

Puoi anche farlo a mano senza dire "Mo' scateno Bayes!".

Che probabilità c'è di finire con 4 bianche?

\(\frac{1}{2}(\frac{1}{3})^4 + \frac{1}{2}(\frac{2}{3})^4\)

Quando questo succede, quale proporzione delle volte c'era una pallina bianca nell'urna?

\((\frac{1}{2}(\frac{1}{3})^4)/(\frac{1}{2}(\frac{1}{3})^4 + \frac{1}{2}(\frac{2}{3})^4)\)

Quale proporzione delle volte c'erano due palline bianche nell'urna?

\((\frac{1}{2}(\frac{2}{3})^4)/(\frac{1}{2}(\frac{1}{3})^4 + \frac{1}{2}(\frac{2}{3})^4)\)

Stai usando / inventando Bayes a questo punto, ok, ma lo fai partendo da zero, non dicendoti "Oh, cavolo, devo usare Bayes qui."

[Samy211]

Ok grazie, ho subito pensato di dover applicare Bayes perchè il prof tende ad applicare quella formula per ogni tipo di esercizio che presenta un minimo di condizionamento.