Esercizio esame probabilità e statistica
Salve, sono nuovo nel forum e vi scrivo in quanto ho bisogno di aiuto per risolvere e capire questo esercizio che segue, dato che non so proprio da dove iniziare;
Due variabili aleatorie sono indipendenti e distribuite in maniera uniforme in [0,2]. Siano Z=X+Y e W=X-Y. Calcolare:
_______________________________________________
Vi ringrazio in anticipo per l'attenzione.
Due variabili aleatorie sono indipendenti e distribuite in maniera uniforme in [0,2]. Siano Z=X+Y e W=X-Y. Calcolare:
- P(Z>1) e P(W<0)[/list:u:35cjrfnh]
- La matrice delle covarianze di Z e W[/list:u:35cjrfnh]
- La densità congiunta di (Z,W)[/list:u:35cjrfnh]
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Vi ringrazio in anticipo per l'attenzione.
Risposte
Provo a darti un piccolo spunto ( che dio tommik mi corregga se scrivo caxxate 
)
usando il cambio variabile
$Z:=X+Y$
$W=X-Y$
$f_(x,y) = 1/4 1_(0;2) (x) 1_(0;2) (y) -> phi ^-1=((z+w)/2,(z-w)/2)$ , $J=[(1/2,1/2),(1/2,-1/2)]$ , $|det J |= 1/2$
applicando la formula del cambio variabile, $f_(Z,W) = f_(X,Y) (phi^-1) |detJ|$
$f_(W,Z)= 1/8 1_[(0;2)]((z+w)/2) 1_[(0;2)] ((z-w)/2) = 1/8 1_[(-w;4-w)](z) 1_[(z-4;z)](w)$
da qua ti ricavi le marginali integrando sulle funzioni identità
$f_Z=1/2 1_((-w;4-w)) (z) , f_W=1/2 1_((z-4;z)) (w)$ da cui si nota la non indipendenza e da qua puoi ricavare le due probabilità
La matrice di covarianza ha la due varianze sulla diag. principale e le covarianze altrove( ed è simmetrica)
quindi ci serve $V[W], V[Z], cov(W,Z)$
$V[W] = 2/3 = V[Z]$
$Cov(W,Z) = E[WZ] - E[W]E[Z] =? $ ci devo pensare, si potrebbe calcolare usando la definizione e svolgendo l'integrale
$C=[(2/3,cov),(cov,2/3)]$
)usando il cambio variabile
$Z:=X+Y$
$W=X-Y$
$f_(x,y) = 1/4 1_(0;2) (x) 1_(0;2) (y) -> phi ^-1=((z+w)/2,(z-w)/2)$ , $J=[(1/2,1/2),(1/2,-1/2)]$ , $|det J |= 1/2$
applicando la formula del cambio variabile, $f_(Z,W) = f_(X,Y) (phi^-1) |detJ|$
$f_(W,Z)= 1/8 1_[(0;2)]((z+w)/2) 1_[(0;2)] ((z-w)/2) = 1/8 1_[(-w;4-w)](z) 1_[(z-4;z)](w)$
da qua ti ricavi le marginali integrando sulle funzioni identità
$f_Z=1/2 1_((-w;4-w)) (z) , f_W=1/2 1_((z-4;z)) (w)$ da cui si nota la non indipendenza e da qua puoi ricavare le due probabilità
La matrice di covarianza ha la due varianze sulla diag. principale e le covarianze altrove( ed è simmetrica)
quindi ci serve $V[W], V[Z], cov(W,Z)$
$V[W] = 2/3 = V[Z]$
$Cov(W,Z) = E[WZ] - E[W]E[Z] =? $ ci devo pensare, si potrebbe calcolare usando la definizione e svolgendo l'integrale
$C=[(2/3,cov),(cov,2/3)]$
La congiunta è corretta. E' uniforme sul rombo che hai scritto.
Le marginali invece non vanno bene. Sei riuscito a trovare delle marginali che dipendono una dall'altra, fantastico!
Non sono richieste dall'esercizio ma può esserti utile calcolarle per allenamento. Rifai bene i conti e vedi che
$f_Z(z)=[1/2-(|2-z|)/4]mathbb{1}_([0;4])(z)$
è una distribuzione triangolare
$f_W=...$
Il resto dell'esercizio non presenta particolari ostacoli.
Per quanto concerne l'OP non mi starei tanto a preoccupare, è il solito fannullone in cerca di qualcuno che risolva l'esercizio al posto suo; se mi sbaglio mi scuso in anticipo...staremo a vedere se mostrerà di aver voglia di darsi da fare oppure no.
Le marginali invece non vanno bene. Sei riuscito a trovare delle marginali che dipendono una dall'altra, fantastico!
Non sono richieste dall'esercizio ma può esserti utile calcolarle per allenamento. Rifai bene i conti e vedi che
$f_Z(z)=[1/2-(|2-z|)/4]mathbb{1}_([0;4])(z)$
è una distribuzione triangolare
$f_W=...$
Il resto dell'esercizio non presenta particolari ostacoli.
Per quanto concerne l'OP non mi starei tanto a preoccupare, è il solito fannullone in cerca di qualcuno che risolva l'esercizio al posto suo; se mi sbaglio mi scuso in anticipo...staremo a vedere se mostrerà di aver voglia di darsi da fare oppure no.
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